[칼럼] n차함수를 넘나드는 비율관계
게시글 주소: https://orbi.kr/00072909034
다항함수의 비율관계에 대해서는 다들 익숙하실 거예요.
그런데 n차함수의 비율관계를 n+1차함수에서도 사용할 수 있다는 사실, 알고 계셨나요?
삼차함수 f(x) 위의 x좌표가 a인 점과 (단, a는 상수) x좌표가 t인 점을 이은 직선의 방정식은 y=[{f(t)-f(a)}÷(t-a)](x-a)+f(a)이고 이 직선의 기울기 m(t)={f(t)-f(a)}÷(t-a)이에요.
t에 대한 식 {f(t)-f(a)}는 (t-a)를 인수로 갖는 삼차식이기에 m(t)는 이차식으로 나타낼 수 있어요.
f(x)=M(x-a)(x-b)(x-c)+f(a)라면 m(t)=M(t-b)(t-c)인 거예요. (단, t=a일 때는 m(t)=f'(a))
이 공식 m(t)=M(t-b)(t-c) 자체만으로도 정말 유용하게 쓰일 수 있기에 암기해 두어도 좋아요.
거리곱을 활용한다면 두 점을 이은 직선의 기울기를 구할 때 식을 쓸 필요도 없겠죠.
m(t)가 이차식 형태로 나타난다는 점을 이용하면 이차함수의 성질을 삼차함수인 f(x)에 적용할 수 있어요.
왼쪽 그림상 (a, 0)을 지나고 x=p에서 삼차함수에 접하는 직선은 빨간색으로, x=a에서 삼차함수에 접하는 직선은 파란색으로 나타내 볼게요.
왼쪽 그림상 빨간색 직선의 기울기는 오른쪽 그림상 빨간색 직선의 y좌표로, 왼쪽 그림상 파란색 직선의 기울기는 오른쪽 그림상 파란색 직선의 y좌표로 나타나요.
왼쪽 그림과 오른쪽 그림에서 a, b, c, p, q의 x좌표는 동일해요.
이차함수는 대칭축을 기준으로 대칭이기에 a와 q, b와 c는 각각 p를 기준으로 대칭인 수예요.
삼차함수에서 활용할 수 있는 새로운 비율관계가 나왔죠?
(p-b):(c-p)=1:1이고 (p-a):(q-p)=1:1이에요.
이제 사차함수로 넘어가 볼까요?
사차함수 f(x) 위의 x좌표가 a인 점과 (단, a는 상수) x좌표가 t인 점을 이은 직선의 방정식은 y=[{f(t)-f(a)}÷(t-a)](x-a)+f(a)이고 이 직선의 기울기 m(t)={f(t)-f(a)}÷(t-a)이에요.
t에 대한 식 {f(t)-f(a)}는 (t-a)를 인수로 갖는 사차식이기에 m(t)는 삼차식으로 나타낼 수 있어요.
f(x)=M(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+f(a)라면 m(t)=M(x-b)(x-c)(x-d)인 거예요. (단, t=a일 때는 m(t)=f'(a))
m(t)가 삼차식 형태로 나타난다는 점을 이용하면 삼차함수의 성질을 사차함수인 f(x)에 적용할 수 있어요.
왼쪽 그림상 (a, 0)을 지나고 x=r에서 사차함수에 접하는 빨간색 직선과 (a, 0)을 지나고 x=q에서 사차함수에 접하는 파란색 직선을 그리면 삼차함수의 비율관계에 의해 (q-p):(r-q):(s-r)=1:2:1임을 알 수 있어요.
특수한 케이스들에서 이러한 비율관계를 활용하는 예시를 몇 가지 들어 볼게요.
a가 사차함수와 공통 접선의 접점인 경우 (b-a):(c-b):(d-c)=1:2:1이에요.
a가 사차함수 f(x)-f(a)의 삼중근인 경우 (a-p):(q-a):(b-q)=1:2:1이에요.
왼쪽 그림상 빨간색 직선과 파란색 직선의 기울기가 부호만 반대인 경우 (c-b):(d-c)=1:1이에요.
이와 같이 다항항수 위의 한 점에서 다항함수에 그은 접선이 있는 경우 비율관계를 이용해 필요한 점의 x좌표를 손쉽게 구할 수 있어요. 이미 알고 있는 비율관계나 근과 계수의 관계 등과 연관지어 사용하면 복잡한 식을 전개해야 하는 풀이를 최소화할 수 있을 거예요.
0 XDK (+51,010)
-
50,000
-
10
-
1,000
-
만넌필 케이스 둘중에 뭐가 이쁨? 실링 밀랍 장식 자체는 1인데 전체적인 감은 2라 고민되네..
-
그냥 이과가 생윤하는게 이런 느낌일까? 온몸으로 좆노잼이라고 몸이 가부함...
-
-
삼반수 0
화작미적생1지1 24수능 54245 25수능 23222 이렇게 받았는데 한번 더 해볼만할까요..?
-
3덮때 노베라 3점 맞고 한 달동안 4덮 자이스토리+개념 한 달 공부했어요 진도...
-
배달이 뒤지게 안 온다 ㅅㅂ
-
나 협찬받음 3
요즘 방구를 홍보중임 공공장소에서 마구 뀜
-
강e분? 16
내가 다 이겨
-
평소에 수능 교육청 다 1-2등급 기본으로 떴는데 시간부족으로 도표 3문제...
-
지방대 특수교육과 다니는 사람이 요즘 수능 너무 쉽다길래 대체 특수교육과 공부가...
-
못참겠다 0
-
친구관계 비롯해서 다 말해드릴 수 있음
-
내가 그렇게 못가르치나
-
과외 학생 입장에선 한 번에 한 과외 선생님이랑만 상담 가능한가요?
-
고등학교 재입학 1
검정고시 합격했어도 재입학 가능하다는거같은데 실제로 그렇게하신분 계시나요?
-
잘지내시나요 저는이학교에서 전교한자리수를유지중이에요 중앙대원서를안쓸거같습니다…...
-
-
과외 학생 입장에서요
-
"4월 월급 왜 이래?" 직장인 1030만명 깜짝…건보료 20만원 더 낸다 3
임금 인상·성과급 지급 등으로 지난해 보수가 오른 직장인 1030만명이 이달...
-
국주티콘보유중
-
진짜 처음 들어보는 대학 사범대 다니는 사람이 요즘 대학가기도 너무 쉽고 수능도...
-
외적너무으악 1
외적그만할래
-
차단당할까봐 모밴으로 쓰는데 어찌저찌 다들 보시더라고요
-
아직 자세한 계획은 안나왔나요? 검정고시생들은 어떻게 되는거죠... 그때까지도...
-
좋아요 1등 댓글: 쟤는 진작 차단했음
-
국어는 또 유기의 길을 걷는다 연계주간지만 사서 주간지랑 언매복습만 하고 유기한다...
-
국어 평균이면 고1때 국어랑 2,3학년때 독서 문학 언매도 포함임?
-
근데 난 진짜 차단 많이 당한 듯 10명 넘게 봄
-
설레는기분
-
요즘 오르비 왜 자꾸 병신같은 댓글에 좋아요 누름? 6
팩트는 진짜 병신이라는거임
-
난 진짜 똥글만 쓰는데
-
차단확인칼럼) 3
https://orbi.kr/00072843353/%255B%EC%B9%BC%EB%9...
-
커플 미해체시 처단.
-
헐 나 차단 당했나봐 10
내 댓글만 좋아요 안달림
-
물1 공부기록 0
기파급: 4/9-진행형 상 편은 역학파트인데 엊그제 마무리 하 편은 비역학인데 아직...
-
지웠다
-
화1 N제 2
화1 단원별로 된 N제 같은 건 없을까요 ㅜㅜ
-
ㅎㅎ...
-
205일? 2
난 571이라고 뜨는데 버근가
-
진짜로...?
-
지금이랑 엄청 다르게 생김 진짜 ㅋㅋㅋㅋ 머리랑 옷이 이렇게 중요합니다 ㄹㅇ..
-
재종 다니는데 다른 애들은 다 지인선 4규등 n제 푸는데 저만 기출.. 2
전 7월까지 기출분석 확실히 하고 n제랑 실모 병행할려 하는데 너무 늦나요.......
-
저 솔직히 1
친구들과 노래방가서도 전 오르비 했쪄욥...
-
학원 조교 하나랑 화상과외 ㄷㄷ 이번주 갑자기 바빠졌네
-
애초에 밖을 안나간지가 10달째임...
-
재수생에 몸에 갇혀있는 락커의 영혼 1 노래 뒤에서 2명 실모대결중 뒤에서 5명...
-
솔직히 1절만 부르고 스킵하고 싶음 2절부터 흥 뚝뚝 떨어짐
-
혹시 기출 회독다하면 뭐하실건가요 ㅎㅎ
-
다른 옯붕이들: 나:
-
ㅇㅎ 이분이셨구나
무민님인 줄
그렇게 대단하신 분과 저를 착각하시다니..
선생님도 대단하셔요수학 잘하고 싶어요 수학은 나의 원수
파이팅!!!!!!!생명수님이셧군..
와 이거 생명수 님이었구나
예상 못 했어요
이렇게 시각 자료도 써주시니 훨씬 보기 좋네요!
ㅎㅎ 좋은 말씀 감사합니다!점수 상당히 높게 드렸는데
누군지는 몰랐네요
감사합니다!!!오마이갓 좋은데여 이거
감사합니다~!
감사합니다^&^그럼 4차함수의 비율관계를 5차에서도 쓸 수 있나요?
넴 쓸 수 있어요!감사합니다 붙잡고 이해해봐야겠어요...ㄷㄷ
감사합니다~~생명suuuuuuuuuuuuuuuuuu
그저 goat
Siuuuu~
감사합니다:)