[칼럼] n차함수를 넘나드는 비율관계
게시글 주소: https://orbi.kr/00072909034
다항함수의 비율관계에 대해서는 다들 익숙하실 거예요.
그런데 n차함수의 비율관계를 n+1차함수에서도 사용할 수 있다는 사실, 알고 계셨나요?
삼차함수 f(x) 위의 x좌표가 a인 점과 (단, a는 상수) x좌표가 t인 점을 이은 직선의 방정식은 y=[{f(t)-f(a)}÷(t-a)](x-a)+f(a)이고 이 직선의 기울기 m(t)={f(t)-f(a)}÷(t-a)이에요.
t에 대한 식 {f(t)-f(a)}는 (t-a)를 인수로 갖는 삼차식이기에 m(t)는 이차식으로 나타낼 수 있어요.
f(x)=M(x-a)(x-b)(x-c)+f(a)라면 m(t)=M(t-b)(t-c)인 거예요. (단, t=a일 때는 m(t)=f'(a))
이 공식 m(t)=M(t-b)(t-c) 자체만으로도 정말 유용하게 쓰일 수 있기에 암기해 두어도 좋아요.
거리곱을 활용한다면 두 점을 이은 직선의 기울기를 구할 때 식을 쓸 필요도 없겠죠.
m(t)가 이차식 형태로 나타난다는 점을 이용하면 이차함수의 성질을 삼차함수인 f(x)에 적용할 수 있어요.
왼쪽 그림상 (a, 0)을 지나고 x=p에서 삼차함수에 접하는 직선은 빨간색으로, x=a에서 삼차함수에 접하는 직선은 파란색으로 나타내 볼게요.
왼쪽 그림상 빨간색 직선의 기울기는 오른쪽 그림상 빨간색 직선의 y좌표로, 왼쪽 그림상 파란색 직선의 기울기는 오른쪽 그림상 파란색 직선의 y좌표로 나타나요.
왼쪽 그림과 오른쪽 그림에서 a, b, c, p, q의 x좌표는 동일해요.
이차함수는 대칭축을 기준으로 대칭이기에 a와 q, b와 c는 각각 p를 기준으로 대칭인 수예요.
삼차함수에서 활용할 수 있는 새로운 비율관계가 나왔죠?
(p-b):(c-p)=1:1이고 (p-a):(q-p)=1:1이에요.
이제 사차함수로 넘어가 볼까요?
사차함수 f(x) 위의 x좌표가 a인 점과 (단, a는 상수) x좌표가 t인 점을 이은 직선의 방정식은 y=[{f(t)-f(a)}÷(t-a)](x-a)+f(a)이고 이 직선의 기울기 m(t)={f(t)-f(a)}÷(t-a)이에요.
t에 대한 식 {f(t)-f(a)}는 (t-a)를 인수로 갖는 사차식이기에 m(t)는 삼차식으로 나타낼 수 있어요.
f(x)=M(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+f(a)라면 m(t)=M(x-b)(x-c)(x-d)인 거예요. (단, t=a일 때는 m(t)=f'(a))
m(t)가 삼차식 형태로 나타난다는 점을 이용하면 삼차함수의 성질을 사차함수인 f(x)에 적용할 수 있어요.
왼쪽 그림상 (a, 0)을 지나고 x=r에서 사차함수에 접하는 빨간색 직선과 (a, 0)을 지나고 x=q에서 사차함수에 접하는 파란색 직선을 그리면 삼차함수의 비율관계에 의해 (q-p):(r-q):(s-r)=1:2:1임을 알 수 있어요.
특수한 케이스들에서 이러한 비율관계를 활용하는 예시를 몇 가지 들어 볼게요.
a가 사차함수와 공통 접선의 접점인 경우 (b-a):(c-b):(d-c)=1:2:1이에요.
a가 사차함수 f(x)-f(a)의 삼중근인 경우 (a-p):(q-a):(b-q)=1:2:1이에요.
왼쪽 그림상 빨간색 직선과 파란색 직선의 기울기가 부호만 반대인 경우 (c-b):(d-c)=1:1이에요.
이와 같이 다항항수 위의 한 점에서 다항함수에 그은 접선이 있는 경우 비율관계를 이용해 필요한 점의 x좌표를 손쉽게 구할 수 있어요. 이미 알고 있는 비율관계나 근과 계수의 관계 등과 연관지어 사용하면 복잡한 식을 전개해야 하는 풀이를 최소화할 수 있을 거예요.
0 XDK (+51,010)
-
50,000
-
10
-
1,000
-
순수문풀만 하려니까 너무힘들어서 인강좀듣고싶은데
-
야 기분 2
좋아요
-
확통 공부법 7
확통 문제 계속 풀고는 있는데 문제를 접근하는 방식을 잘 구별하기가 힘드네요......
-
중간고사 안끝났지만 알빠노?
-
왜 대구에서
-
ㅇㅋㅇㄹ ㅌㅊ 8
-
국어 vs 수학 0
1등급까지 오르는데 걸리는 시간이뭐가 더 오래걸리고 맞기 더 어려움? (초중후 포함)
-
음
-
개가치 뛰어감
-
일단 내가 있는 곳은 그렇다
-
인턴들 다 정규직 전환시켜주었으면...
-
다 물에 젖었어.. 물통을 가방에 넣으면 안되는 이유..
-
밥시간을 생각 안하고 일정이 짜여잇음 밥 일반적인 점심 저녁시간에 먹은적이 이번학기에 거의없네
-
음.....일단 대가리 깨져볼까
-
분명 한글로나온다햇는데 영어로나왓음
-
농담이고 이론상 냥의 가능한가요?
-
내일은 걍 폰 패드 두고 와야겠다
-
ㄱㄱㄱ
-
매일 꾸준히 오는 사람들 하면 30명 안될 거 같은데
-
고2 정시 3
안녕하세요 지방 일반고에 다니고 있는 고2입니다 일단 정시파이터가 되기로 거의...
-
메타 바꾸기 2
ㅇㅈ메타 ㄱㅈㅇ!!
-
그 지문 다시는 안나오는데 그 지문에서 해야하는 행동이나 사고를 알려주는 수업을 들으셈
-
우선 제 상황부터 말씀 드리겠습니다 저는 운동하다가 접고 방황하다가 고등학교...
-
고3 정시 준비하는 학생입니다. 공대가 사탐으로도 지원은 가능한데 과탐은 가산점이...
-
미소녀도 똥을 쌈? 20
궁금
-
재밌는 거.
-
나히아 최애캐 5
-
아 메타 드럽네 0
드러운 메타는 옯생 처음인데
-
-
지금 림잇 듣는중 림잇 듣고 김종익 잘노는기출&현돌 기시감 이거 하려고 하는데 둘다...
-
똥메타임? 1
우웩!!
-
카가 성이고 리나가 이름이겠지
-
요즘 평균적으로 공대를 쉬운확통사탐으로 많이 가나요 아니면 그래도 가산점 받는...
-
케인님한테 고소먹나요? 민주누님한테 고소먹나요?
-
하 하 하 1
일류니까 크게웃어
-
-
내 뱃속에서 키우고 낳은거잖아
-
초고속충전할려면 2
충전케이블도 아무거나 쓰면 안되나요? 초고속이 되는 게 따로 있는건가요
-
확통 3등급이 목푠데 등급컷보니 70점정도는 맞아야 하겠더라구요 6~7문제 안풀고...
-
서방님들 여르비왓어염 14
뿌우
-
하나도 모르에네..누가 누군거제..
-
감떨어지는 소리 들린다
-
경제학. 2
90점인가 제발 그대로 나와다오 에쁠 제발 에쁠
-
독서-피램 문학-김상훈 언매-김동욱 ebs-김승리 어쩌다보니 분야별로 찍먹을..
-
연필통 말구 딴걸루요 이감 시즌1, 인강민철, 데일리유대종중 생각중입니다 연필통은...
-
다 탈릅햇나.. 8
어피니티는 간 거 같네요.. 좋은 친구였는데 원조 심심한은 어디감요?
-
책값 너무 비쌈 8
중고책 살까 그냥
-
젼나 음흉해보이잖아 여따가 “으흐흐”
-
월화수목금 2시간 근무 토일 6시간 근무 물리적으로는 가능세계범위?
-
언매 도움요청… 3
나 혼자서 밥을 먹는다. 나 혼자 밥을 먹는다. 첫번째 문장에서 혼자서가...
ㅇㅎ 이분이셨구나
무민님인 줄
그렇게 대단하신 분과 저를 착각하시다니..
선생님도 대단하셔요수학 잘하고 싶어요 수학은 나의 원수
파이팅!!!!!!!생명수님이셧군..
와 이거 생명수 님이었구나
예상 못 했어요
이렇게 시각 자료도 써주시니 훨씬 보기 좋네요!
ㅎㅎ 좋은 말씀 감사합니다!점수 상당히 높게 드렸는데
누군지는 몰랐네요
감사합니다!!!오마이갓 좋은데여 이거
감사합니다~!
감사합니다^&^그럼 4차함수의 비율관계를 5차에서도 쓸 수 있나요?
넴 쓸 수 있어요!감사합니다 붙잡고 이해해봐야겠어요...ㄷㄷ
감사합니다~~생명suuuuuuuuuuuuuuuuuu
그저 goat
Siuuuu~
감사합니다:)