수학 자작(10000덕)
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자연수 m(m>1)에 대해, 그림과 같이 f(x)=x^m, g(x)=[x]^m, x=n에 둘러싸인 1사분면의 면적을 S_n이라 하자. 즉,
이다.
이도록 하는 a, p의 값을 a_m, p_m이라 할 때,
의 값은?
(단, [x]는 x보다 작거나 같은 최대의 정수)
그리 어렵지 않습니다
불연속함수 적분이 대놓고 있는 것만 봐도 아시겠지만, 수능형 문제는 아닙니다
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로피탈 쓰니깐 2나오네요
정답+풀이 써주신 첫 분께 10000덕을 드립니다
S_n=1^m+2^m+…+(n-1)^m인데 거듭제곱 합 구할때 증명 생각해보면 (x+1)^a - x^a = ax^(a-1)…에서 (n+1)^a - 1 = a • (1^(a-1) + 2^(a-1) … n^(a-1))이고 대충 n^a/a …니까 마찬가지로 S_n도 (n-1)^(m+1)/(m+1) + … 로 정리되기 때문에 p m+1 a 1/m+1임
약간 오해가 있었던 것 같은데, 적분되는 함수를 보시면 S_n은 그림에서 검정색 부분이 아니라 회색 부분이에요
그러니까 (x^m을 0에서 n까지 적분한 것) - (1^m+2^m+...(n-1)^m)인 셈이죠
밑둥부분 넓이 구하는거 계속 집중하다가 헷갈렸네욤..
그럼 비슷하게 1^m+ 2^m … (n-1)^m = (n-1)^(m+1)/(m+1) + (n-1)^m/2 …니까 적분한거에서 빼면 n^(m+1)/(m+1) - {(n-1)^(m+1)/(m+1) + (n-1)^m/2 …} = n^m/2…니까 각각 1/2 m 될듯?