수학 칼럼) 체계적으로 문제 읽기 2 (231122)
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안녕하세요!
이번 글은 전편에 이어서,
문제 읽을 때 사용되는 논리구조를 다룹니다.
문제 읽고 무작정 펜부터 들지 말고
1) 내 목표는 무엇인가?
2) 목표를 위해 무엇을 할 수 있는가?
라는 논리구조를 적용하면 문제를 체계적으로 읽을 수 있습니다.
그렇다면 어려운 문제에 어떻게 적용할 수 있을까요?
23학년도 수능 22번입니다.
정보량도 많고 어려워 보입니다.
이런 문제를 풀 때 막막함을 느낀 적이 있으신가요?
어디서부터 손을 대야 하지... 하는 생각이요.
체계적으로 문제를 읽으면 이런 생각으로부터 해방될 수 있습니다.
문제를 읽어 봅시다.
1) 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)와
삼차함수는 틀이 정해져 있습니다.
따라서 f(x)는 틀만 주어진 함수입니다.
삼차함수의 식을 완성하려면 단서 4개가 있어야 하죠?
최고차항 계수는 1이라고 하니 벌써 1개 줬네요.
단서 3개를 찾으면 f(x)의 식을 완성할 수 있습니다.
2) 실수 전체 집합에서 연속인 함수 g(x)가 다음 조건을 만족시킬 때,
g(x)에 관해서는 별다른 단서가 없네요.
얘가 다항함수인지, 증가하는지 감소하는지, 잘 모릅니다.
일단 어떤 성질인지 관찰하는 걸 목표로 세워 봅시다.
3) f(4)의 값을 구하시오.
f(4)를 구하려면 일단 f(x)의 식을 완성해야겠네요.
(가끔 식을 완성하지 않고도 함숫값을 구할 수 있을 때도 있습니다.)
여기까지 읽었을 때, 우리의 목표는 다음과 같습니다.
1) f(x) 함수식 완성하기
2) g(x) 관찰하기
이제 조건으로 넘어가볼게요.
가) 모든 실수 x에 대하여 f(x)=f(1)+(x-1)f'(g(x))이다.
항등식을 줬네요. 근데 처음 보는 항등식입니다.
이 조건은 아직 뭔지 모르겠네요.
항등식 조건을 대할 때 크게 2가지 방법이 있습니다.
1) 식을 조작해서 쉬운 형태로 바꾸기
2) 대입하고 계산하기
으로 잡고,
항등식에 대입하는 것도 방법이겠네요.
계산이 복잡해지니까 최후의 방법으로 남겨둡시다.
(눈치가 빠른 분들은, '어디서 많이 본 식인데?'라는 생각을 하고,
'평균변화율이구나! 라는 발상까지 떠오르실 겁니다.)
나) 함수 g(x)의 최솟값은 5/2이다.
아직 g(x)에 대해서는 아는 게 없습니다.
그래프 개형도 모르고 함수식도 모르니 이 조건은 보류합시다.
다) f(0)=-3, f(g(1))=6
f(x)에 대한 함수값을 2개 줬네요.
f(0)은 바로 써먹을 수 있는 반면 f(g(1))은 어떻게 써야 할지 모르겠네요.
f(0)=-3을 반영하면 
이 됩니다.
그럼 이제 2) 목표를 위해 무엇을 할 수 있는가? 에 대해 생각해봅시다.
(나), (다) 조건은 아직 잘 모르겠네요. g(x)를 모르니까요.
그럼 남은 건 (가)입니다. 여기에 집중을 해야 해요.
f(x)=f(1)+(x-1)f'(g(x))라는 항등식에서 식조작을 해서 g(x)를 관찰하건,
아니면 대입하고 계산해서 g(x)를 구하건,
일단 (가)부터 조져야 합니다. (나), (다)가 아니라요.
정리하면 다음과 같습니다.
1) 목표: f(x) 함수식 구하기, g(x) 관찰하기
2) 할 수 있는 것: f(x)=f(1)+(x-1)f'(g(x)) 식조작하거나 대입하기
(가)조건을 조지다 보면,
(나), (다) 조건의 사용처가 드러날 거에요.
궁금한 점 있으시면 댓글 달아주시면 성심껏 답변드릴게요!
부족한 글 끝까지 읽어주셔서 감사합니다!
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