A Norm on homology of 3-manifold

Definition of Thurston norm

Properties of Thurston norm ball

Example of Thurston norm ball

Teichmuller polynomial

Thurston norm and foliation

Gabai's theorem

Classic and new transverse surface theorem

Euler class

Euler one class conjecture and Fully marked surface theorem

Mosher's study on Thurston norm ball

Operations on surfaces

(oriented) 3-manifold의 2nd homology class는 항상 (oriented) embedded surface로 represent할 수 있다. ($S^1$가 $K(\Bbb Z,1)$ space인 것을 이용해서, $H_2(M;\Bbb Z) = H^1(M;\Bbb Z)$와 $[M,S^1]$ 사이의 bijective correspondence가 있다는 것을 이용하면 된다) 이러한 homology class의 덧셈과 상수배를 기존의 representative를 이용해서 나타나기 위해서는, surgery라고 불리는 기본적인 operation이 필요하다. Surgery 기법은 위상수학에서, 특히나 고차원 위상수학에서 자주 나오는 기법이다. 여기서 소개될 여러 surgery 기법들은 추후에 thurston norm이 integral lattice에서 pseudo-norm인 것을 보일 때 쓰일 것이다.

$S$와 $T$가 3-manifold에 들어있는 embedded surface라고 했을 때, $S$과 $T$가 각각 represent하는 homology class $[S],[T]$가 있을 것이다. 우리는 $S\asymp T$라는 새로운 surface를 만들어서, $[S\asymp T] = [S]+[T]$가 되도록 할 것이다. 따라서 $\chi(S\asymp T) = \chi(S)+\chi(T)$가 되는 embedded surface를 만든다.

위에 그림처럼, $S\asymp T$는 $S\cap T$를 따라서 $S$와 $T$를 자른 다음에 orientation을 그대로 유지되게끔 하는 방식으로 (유일하게 결정된다) 다시 붙이는 operation이다. 이러한 operation은 1-manifold $\gamma,\eta$에서도 비슷하게 행해질 수 있고, 똑같은 기호 $\gamma\asymp\eta$를 사용해서 만들어진 1-manifold를 나타낸다. 한가지 쉽게 볼 수 있는 것은, 만약 $M$이 boundary를 갖고 있다면, $\partial (S\asymp T) = \partial S\asymp\partial T$를 알 수 있다.

$S\cap T$에 simple closed curve $C$가 있는데, 둘 중 하나의 surface $T$에 inessential 하게 들어있을 수 있다. 이러한 경우에는 intersecting하는 경우는 정보를 거의 갖지 않고 surface의 복잡도만 늘기 때문에 주로 없애준다. 이러한 없애주는 operation을 2-surgery라고 한다.

위에 그림과 같은 상황을 보자. $T$에 $D$라는 $C$가 bounding하는 disk가 있다고 하자. 물론, $D$ 안에 $S\cap T$의 다른 component들이 존재할 수 있지만, 가장 안쪽에 있는 것을 골라서 위의 그림과 같은 상황을 연출할 수 있다. 이제 $T$의 $D$에서의 tubular neighborhood를 잡아서 $S$에서 뺀 다음 "capping"을 해서 위의 그림과 같이 $S'$이라는 새로운 surface를 만들 수 있다. 다시 말해서, $D$를 $S$의 compressing disk로 보고 compression을 진행하는 것이다. 이렇게 만든 새로운 surface $S'$를 $S$으로부터 2-surgery를 통해서 얻었다라고 한다. 중간에 $T$의 tubular neighborhood의 일부 $D\times I$가 $S$와 $S'$ 사이의 3-cell로서의 homology를 주기 때문에 $[S'] = [S]$가 된다. 또한, $\chi(S') = \chi(S) + 2$ 임을 알 수 있다. 다시 말해서, 2-surgery는 homology class의 representative의 complexity를 줄이는 operation에 해당된다.

비슷한 식으로, $S\cap T$의 inessential curve $C$가 boundary에서 나타나는 경우에도 똑같은 2-surgery를 행할 수 있다. 이 경우에도 만들어진 surface $S'$는 기존 $S$와 같은 homology class를 represent 하지만, complexity는 하나 줄은 surface가 된다. $\chi(S') = \chi(S) + 1$.

앞에서도 말했지만, (topological) 3-manifold theory에서 자주 등장하는 embedded surface에서의 operation 중 하나가 "compressing" 이다. 기본적으로 embedded surface $S$가 $M$에서 compressible 하다는 것은 $S$위에 essential simple closed curve $C$를 boundary로 갖는 $M$에서의 embedded disk $D$가 존재하는 경우를 말한다. 그러면 우리는 위에서 2-surgery와 같이, $D$를 기준으로 $S$를 자르고 새로 생성된 $S$의 boundary 2개를 각각 $D$의 copy로 붙이는 작업을 한다. 이것을 $S$를 compressing 한다고 하고, $D$를 compressing disk라고 부른다. 다음 사진과 같은 상황이다:

앞선 2-surgery와 같이 $D\times I$가 새로 만들어진 surface $S'$와 $S$의 homology를 주기 때문에 homology class 자체는 바뀌지 않고, complexity는 $\chi(S') = \chi(S) + 2$로 줄어든다. 2-surgery 때와 마찬가지로, 비슷한 식의 compression을 essential arc $(A,\partial A)\subset (S,\partial S)$ 를 따라서 진행할 수 있다. 마찬가지로 새로 만들어진 surface의 homology class는 바뀌지 않고, complexity는 1 줄어든다. $\chi(S') = \chi(S)+1$. 만약 compressing disk가 없는 경우에 incompressible 이라고 부르고, compressible arc가 없는 경우에는 boundary incompressible 이라고 부른다.

Definition of Thurston norm

Lemma. If $\alpha$ is divisible by $k$, then $S$ is a union of $k$ components, each representing $\alpha/k$.

$(\because)$ $\alpha = k\beta$ 라고 하자. 그러면 우리는 다음의 homotopy-commutative diagram이 존재한다:

여기서 $f_\alpha,f_\beta$는 $H^1(M,\Bbb Z)$와 $[M,S^1]$ 사이의 bijective correspondence에서 나온 map들을 말한다. $f_\alpha$, $f_\beta$의 unique up to homotopy 성질에 의해서 $p$는 $k$-fold covering map이 된다. $p^{-1}(y) = \{y_1,\ldots,y_k\}$가 $f_\beta$의 regular value들이라 가정할 수 있고, 따라서 $S$는 $f_\beta^{-1}(y_1)\cup\cdots\cup f_\beta^{-1}(y_k)$의 disjoint union of surfaces가 되고 각각의 component들은 $\beta$를 represent 한다. $\square$

Rmk. 자명히, $\alpha = k\beta$라고 하면, $\beta$가 represent하는 surface의 parallel copy를 $k$개 모아놓으면 그것의 homology class는 $\alpha$ 를 represent 한다.

Thurston norm은 주어진 integral 2-homology class를 representing하는 embedded surface들 중에서의 minimal complexity를 잰다. 여기서 surface의 complexity는 Euler characteristic으로 잰다.

Definition. Given a connected surface $S$, let

$$\chi_-(S) = \max(0,-\chi(S))$$

and if $S = \coprod_j S_j$ then

$$\chi_-(S) = \sum_j\chi_-(S_j).$$

한가지 알아둘 것은, $\chi_-(S_1\# S_2)\geq\chi_-(S_1)+\chi_-(S_2)$가 된다는 것이다.

Definition. Let $M$ be any compact, oriented 3-manifold. Define the norm $\parallel - \parallel$ on the integral lattice of the second homology $H_2(M)$ or $H_2(M,\partial M)$ by the formula

$$\parallel a\parallel = \inf \{\chi_-(S)\mid S\text{ is an embedded surface representing }a\}$$

Theorem. For any integral 2-homology class $a,b$ and any $n\in\Bbb N$, the following properties hold:

$$\parallel a \parallel = \parallel -a \parallel,\quad \parallel na\parallel = n\parallel a\parallel,\quad \parallel a+b\parallel\leq\parallel a\parallel +\parallel b\parallel.$$

$(\because)$ 첫번재는 주어진 surface의 orientation을 모두 바꾸면 된다. 두번째는 만약 $S$가 $a$를 represent하면, $S$의 $n$개의 parallel copy는 $na$를 represent하고, 따라서 $\parallel na\parallel\leq n\parallel a\parallel$이 된다. 위의 Lemma에 의해서, 만약 $T$가 $na$를 represent 한다면, $T$를 $n$개의 disjoint union of surfaces each representing $a$로 쪼갤 수 있고, 따라서 $n\parallel a\parallel \leq \parallel na \parallel$이 된다.

마지막 inequality는 조금 더 복잡하다. $S$와 $T$를 $a,b$의 norm-minimizing surface representative들을 가져오자. 만약 $S\cap T$가 inessential한 circle이나 arc를 갖고 있으면, 2-surgery를 적용해서 $S$와 $T$ 각각의 homology class를 바꾸지 않고 없앨 수 있다. 또한, 2-surgery가 만약 새로운 component를 생성한다고 하면, circle에서는 sphere나 disk 들을 생성하고, arc의 경우에는 disk를 생성하기 때문에, $\chi_-$ 값 자체는 2-surgery를 해도 변하지 않는다. 따라서, 우리는 inessential들을 모두 지운 뒤에, essential하게 intersect하는 경우만 남겨놓고, $S\asymp T$를 생각할 수 있다. 이 경우에 새로운 sphere나 disk가 생성되지 않는다. 따라서, $\chi_-(S\asymp T) = \chi_-(S)+\chi_-(T)$가 되고, $S\asymp T$는 $a+b$를 represent하기 때문에 $\parallel a+b\paralle\leq \parallel a\parallel + \parallel b\parallel$이 성립한다. $\square$

Rmk. 첫번째는 Thruston norm은 symmetric about the origin 이라는 뜻, 두번째는 rational homology class로 natural하게 norm이 extend 된다는 뜻, 세번째는 Thurston norm은 convex하다는 뜻이다.

사실, Thurston norm은 real homology class로 continuous하게 extend를 할 수 있고, norm 자체는 2nd homology with real coefficient vector space에서의 semi-norm으로 주어진다. 또한 Thurston norm의 continuity에 의해서, norm이 vanishing하는 부분은 정확히 subspace spanned by embedded surfaces of non-negative Euler characteristic 에 해당된다. 다시 말해서, $H_2$를 저러한 subsurface를 quotient한 space 혹은 저러한 subsurface가 없는 경우, 다시 말해서 nontrivial homology class가 non-negative Euler characteristic embedded surface로 (다시 말해서, essential sphere나 torus, properly embedded annulus) represent 되는 경우를 없다면, Thurston norm은 실제로 norm이 된다. 그리고 위에 (2) 성질이 연속적으로 확장이 되기 때문에, $H_2$ real vector space에서 원점을 지나는 각각의 ray에서는 Thurston norm은 linear 하다. 따라서, Thurston norm의 $H_2$에서의 정보는, norm을 1 이하로 normalized 시킨, homology norm ball에 전부 기록이 된다.

Thurston norm은 integral lattice point에서는 integer value를 갖는 semi-norm의 formal consequence는 Thurston norm ball on $H_2$는 항상 polytope이라는 것이다. 따라서, 만약 Thurston norm이 실제로 norm이면, polytope은 compact이고, 만약 아니라면, 다시 말해서 semi-norm 이라면, Thurston norm ball은 noncompact polytope이 된다.

Thurston norm as a (semi-)norm on $H^1$

David Fried는 Thurston norm을 $H^1$에서 정의된 norm으로 보고, 각각의 (de Rham) cohomology class를 smooth fiberation over $S^1$으로 대응을 시켜서 이해하려고 했다. 이렇게 되면, 자연스럽게 base compact oriented 3-manifold를 fibered 3-manifold over $S^1$으로 볼 수 있게 된다.

The correspondence between smooth fibrations and nonsingular integral periodic closed 1-forms.

먼저 correspondence를 말하기 전에, closed 3-manifold $M$에서의 Universal coefficient theorem을 먼저 상기하도록 한다.

$$H^1(M;\Bbb Z)\simeq\mathrm{Hom}(H_1(M;\Bbb Z),\Bbb Z),\quad H_1(M;\Bbb Z)/\mathrm{torsion}\simeq \mathrm{Hom}(H^1(M;\Bbb Z),\Bbb Z).$$

만약 $\Bbb Z$가 아니라 $\Bbb R$ coefficient 이라면, $H^i$와 $H_i$는 dual vector space가 된다. 또한 Poincare duality에 의해서, $H^2(M;\Bbb Z)$는 $H_1(M;\Bbb Z)$와 identify 할 수 있다.

$f:X\to S^1$가 smooth fibration 이라고 하자. 그러면, $d\theta$를 $H^1(S^1;\Bbb R)$의 generating 1-form이라고 한다면, $f^*(d\theta)$는 integral periodic를 갖는 nonsingular (i.e. nonvanishing) closed 1-form이 된다. 반대로, 만약 $\omega$가 nonsingular closed 1-form 이고 $X$가 closed 3-manifold라면, $f(x) = \int_{x_0}^x\omega$는 $X$에서 $\Bbb R/\mathrm{periods}(\omega)$로 가는 mapping이 되고, 만약 $\omega$의 period들이 rational ratio를 갖고 있다면, fibration over $S^1$이 된다. Fibration이 되는 이유는 다음과 같다: $X$의 compactness에 의해서, $\pi_1(X)$가 finitely generated 이기 때문에, $\omega$의 ($H_1$의 각각의 basis element에 대한) period들은 $\Bbb R$의 subgroup이 되고, (trivial하지 않은 이유는 $X$는 compact이고, $f$는 open map이기 때문) rational ratio 가정에 의해서 $\Bbb R/\periods(\omega)\simeq S^1$이 된다. 따라서, $X$에 smooth flow $\psi$ s.t. $\omega({d\psi/dt}) = 1$을 construct 하면 (local하게 항상 존재하고, global하게 항상 확장 가능하다) $\omega$가 nonvanishing 하다는 것과 flow는 time variable에 대해서 local diffeomorphism 인 것을 이용하면 주어진 integrating map이 smooth fibration 이라는 것을 알 수 있다. $\square$