케플러의 제 1법칙은 왜 성립할까?
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행성은 왜 타원궤도로만 운동할까?
그 이유를 증명해보자.
먼저, 항성이 고정되어있다고 간주하고, 계의 운동에너지를 구해보자.
운동에너지 T는
위에있는 점은 미분이라는 뜻이다.
퍼텐셜 에너지 U 는
이다. 그러면 계의 라그랑지언은
이를 오일러 라그랑주 방정식
에 대입하여 다음 두 연립미분방정식을 얻는다.
이때,μ 는 상수이다. 위에 있는 방정식의 물리적 의미가 꽤나 중요한데, 바로 각운동량 보존을 나타내기 때문이다.
위에 있는 식을 다시 미분해서
을 얻을 수 있다.
으로 놓고 풀자. 이걸 다른 식에 대입하면
r의 이계 도함수를 아래와 같이 변형하고
이걸 다시 식에 대입하면
로 치환하면
이때, 우변은 상수이므로
가 성립한다. 그러면 결국,
이는 매우 간단한 이계 미분방정식이므로,
꼴로 나타낼 수 있고, 이를 잘 정리하면 타원을 얻는다.
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그아아악
뮤만 보면 모평균 밖에 생각이....
통평 ㅋㅋ
흑흑.....r제곱도 t도 전부다 통계량으로 밖에 안 뵈어요.....
지2는 이런거배운다는거죠? 절대안해야겟다
지2 아니고 물2
물2에서도 이런건 안나옵니다
이건 대학교 내용
물2는 걍 타원궤도로 운동한다 띡 써놓고 증명은 안해요
아하
케플러는 해체해서 더이상 성립하지 않을텐데요
케플러 법칙이 공전주기²이 별과 행성과의 거리³에 비례하는 그거 맞나...
그건 3법칙!
아하 고렇군요 ㅋㅋㅋ
춘식이가 케플러 머시기머시기 알려줘서 요건줄 알았네오
2법칙도 증명좀
1법칙 증명과정에서 나온 각운동량 보존으로 바로 유도됩니다.
면적 속도를 미분하면 (1/2)r^2 dθ/dt 인데
여기서 r^2 dθ/dt=μ 로 상수잖아요? 그러면 증명 끝났죠
전공과목은 차갑다
원통좌표계쓰는게 1법칙 증명은 제일 빠르던거같던디
제가 뉴턴역학 혐오자라....
벡터 계산 너무 시러요 ㅠㅠ
헉
아하 과제로 낸거군요
과제는 아닌데 지금 여기 배우고 있긴 함니다
심심해서 해봤어요