급수의 여러가지 수렴 판정법 - 1
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1. 일반항 판정법
주로 대우를 이용해 급수의 발산을 판정할 때 쓰인다.
2. 비교 판정법
충분히 큰 n에 대해서, 계속 a_n이 더 크고, a_n의 급수가 수렴한다면, b_n도 수렴합니다.
다만, 무조건 모든 항에 대해 대소관계가 유지되어야 하는건 아니고요, 어떤 수 N이 있어서 N보다 큰 모든 자연수 n에 대해서만 대소관계가 유지되면 충분합니다.
어차피 유한한 항의 합은 유한이니까요.
반대로 저기서 b_n의 합이 발산하면 그거보다 더 큰 a_n의 합도 발산하겠죠.
3. 극한비교판정법
를 만족시키면,
이 둘은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
증명)
이걸 보시면, 언젠가는 n이 엄청 커지면 저 분수와 L 사이의 오차가 점점 작아지겠죠?
그러면 언젠간 그 오차가 L/2보단 작아질겁니다. 그러면
충분히 큰 n에 대해서 이렇게 되겠죠
이걸 전개하면
이런 식으로 되고, 각 변에 b_n을 곱해주면,
이렇게 됩니다. 눈치 빠르신 분들은 이미 알아 챘을텐데, 이제 여기서 비교 판정법을 사용하시면 됩니다.
어차피 L은 상수기 때문에 급수의 수렴 발산에는 영향을 미치지 않아요. 그거 이용하셔서, b_n의 급수가 발산하는 경우와 수렴하는 경우에 대해서 한번 스스로 해보세요!
4. 비율 판정법.
이라고 정의해봅시다.
이때, r이 1보다 크면 발산, 0과 1 사이면 수렴입니다. 1이면 이 판정법은 무효가 됩니다. 알 수 없어요.
등비급수랑 비교판정법을 적용하면 쉽게 증명 가능합니다. 오늘은 늦어서 내일 증명할게요...ㅠ
이거 말고도 적분판정법, 거듭제곱근판정법, 코시 응집 판정법, 가우스 판정법, 쿠머 판정법 등등 엄청 많아요 ㅋㅋ
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정말 많이 하는군아 ,,,
친구들이 열심히 하고 있더라고요
전 혼자서 애들이 보내주는 pdf구경만
제가 그런 님을 위해 문제 하나 내드리겠습니다
아프켄 수리물리 1장에 처음 나오는 연습문제에요
lim(n->∞) (n^p × a_n)=A, A는 양의 실수, p는 1보다 큰 실수.
일때 a_n의 급수가 수렴함을 보여라.
힌트 : 극한비교판정법
1/n^p의 무한합이 수렴한다는 것도 증명해야 되나요
어머 그걸 깜빡했네요... 그거 증명하려면 적분판정법 써야되는데
일단 1/n^p에서 p가 1보다 크면 무조건 수렴합니다