라플라스 방정식 변수 분리법 쉽게 설명하기

변수 분리법에 대해 알아보자 (최대한 쉽게)

먼저 이따위로 생긴 라플라스 방정식이 있다고 하자

얼핏 보면 편미분 기호때문에 거지같아 보이지만 정말 단순하다

V를 x만 변수로 가정하고 두번 미분한것과

y만 변수로 가정하고 미분한것을 더하면 서로 상쇄되어 죽는다는 뜻이다.

예를 들면 2x+5y=V 라고 해보자

V를 x에 대해 두번 편미분하면 0, V를 y에 대해 두번 편미분 하면 0이므로 2x+5y는 아주 완벽한 이 방정식의 해이다.

그런데 이딴 멍청한 함수를 구하자고 이런 편미분 방정식울 세운건 아니지 않은가? 이정도는 누구나 구할 수 있다.

그래서 편미분 방정식에는 경계조건이라는 것이 있다.

여러분 모두 고등학교에서도 경계조건을 써본적이 있다.

f'(x)=2x+1이고 f(1)=0일때, f(x)는?

자 이걸 구하려면 어떻게 해야하는가

당연히 f'을 부정적분 하고 (x^2+x+C)

1을 대입해 C를 찾는다.

그러면 당신은 아래의 미분 방정식을 푼 것이다.

마찬가지로 위의 라플라스 방정식도 경계 조건이 존재한다 

예를 들어 내가 지금 보고 있는 문제 에서는

이런 경계조건이 주어진다.

간단히 설명하자면, y가 0이거나 a이면 V는 0, x=0에성 어떤 특정 상수값 V_0, 그리고 x가 졸라 커지면 0

이러면 우리는 뭔가 좀 제대로 된 해를 찾을 수 있는 것이다.

이때 써볼 수 있는게 변수분리법

이게 뭐냐면, 우리가 구하고자 하는 방정식이 2x+5y 이딴식이 아니라,

요따위로 각각 하나의 변수에만 의존하는 두 함수의 곱으로 나타나진다고 '가정'하는 것이다.

왜 '가정'을 하냐고? 물론, 이 가정이 틀릴 수도 있다. 근데 틀렸을때는 뭐 알아서 하시고, 일단은 이렇게 가정을 하면 좋은 점이 있다. 만약 이 가정이 맞아서 V를 구하게 되면,  라플라스 방정식의 해는 유일하다는게 증명이 되어있기 때문에, 그냥 그게 맞기 때문이다.

그러면 이제 이 방정식을 풀어보자.

먼저, 우리는 이미 V를 두 함수로 반갈죽시켜버렸기 때문에 이제 편미분 기호는 갖다 버려도 된다.

그리고 이제 양 변을 XY로 나눠줄 것이다.(딱 봐도 그렇게 하는 쪽이 변수가 딱딱 정리돼서 편해보인다.)

자 이제, 첫번째 항은 x에만 관련된 식이고, 두번째 항은 y에만 관련된 식이다. 이게 뭘 의미하는가?

이 방정식은 함수를 구하는거지, 어떤 값을 구하는게 아니다

결국 이 방정식은 모든 x,y에 대해 성립해야한다. 

그런데 만약 첫번째 항이 x고 두번째 항이 y라고 치면, 

x+y=0이 모든 x,y에 대해 성립하는걸까? 당연히 아니다

결과적으로, 두 항 모두 상수여야한다. 그래야 서로 더해져서 항상 0이 될 가능성이 있기 때문이다.

그러면 우리는 식을 이제 세개나 얻는다.

이제 이 각각을 푸는건 꽤나 쉽다.

나머진 다음 기회에...