라플라스 방정식 변수 분리법 쉽게 설명하기
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변수 분리법에 대해 알아보자 (최대한 쉽게)
먼저 이따위로 생긴 라플라스 방정식이 있다고 하자
얼핏 보면 편미분 기호때문에 거지같아 보이지만 정말 단순하다
V를 x만 변수로 가정하고 두번 미분한것과
y만 변수로 가정하고 미분한것을 더하면 서로 상쇄되어 죽는다는 뜻이다.
예를 들면 2x+5y=V 라고 해보자
V를 x에 대해 두번 편미분하면 0, V를 y에 대해 두번 편미분 하면 0이므로 2x+5y는 아주 완벽한 이 방정식의 해이다.
그런데 이딴 멍청한 함수를 구하자고 이런 편미분 방정식울 세운건 아니지 않은가? 이정도는 누구나 구할 수 있다.
그래서 편미분 방정식에는 경계조건이라는 것이 있다.
여러분 모두 고등학교에서도 경계조건을 써본적이 있다.
f'(x)=2x+1이고 f(1)=0일때, f(x)는?
자 이걸 구하려면 어떻게 해야하는가
당연히 f'을 부정적분 하고 (x^2+x+C)
1을 대입해 C를 찾는다.
그러면 당신은 아래의 미분 방정식을 푼 것이다.
마찬가지로 위의 라플라스 방정식도 경계 조건이 존재한다
예를 들어 내가 지금 보고 있는 문제 에서는
이런 경계조건이 주어진다.
간단히 설명하자면, y가 0이거나 a이면 V는 0, x=0에성 어떤 특정 상수값 V_0, 그리고 x가 졸라 커지면 0
이러면 우리는 뭔가 좀 제대로 된 해를 찾을 수 있는 것이다.
이때 써볼 수 있는게 변수분리법
이게 뭐냐면, 우리가 구하고자 하는 방정식이 2x+5y 이딴식이 아니라,
요따위로 각각 하나의 변수에만 의존하는 두 함수의 곱으로 나타나진다고 '가정'하는 것이다.
왜 '가정'을 하냐고? 물론, 이 가정이 틀릴 수도 있다. 근데 틀렸을때는 뭐 알아서 하시고, 일단은 이렇게 가정을 하면 좋은 점이 있다. 만약 이 가정이 맞아서 V를 구하게 되면, 라플라스 방정식의 해는 유일하다는게 증명이 되어있기 때문에, 그냥 그게 맞기 때문이다.
그러면 이제 이 방정식을 풀어보자.
먼저, 우리는 이미 V를 두 함수로 반갈죽시켜버렸기 때문에 이제 편미분 기호는 갖다 버려도 된다.
그리고 이제 양 변을 XY로 나눠줄 것이다.(딱 봐도 그렇게 하는 쪽이 변수가 딱딱 정리돼서 편해보인다.)
자 이제, 첫번째 항은 x에만 관련된 식이고, 두번째 항은 y에만 관련된 식이다. 이게 뭘 의미하는가?
이 방정식은 함수를 구하는거지, 어떤 값을 구하는게 아니다
결국 이 방정식은 모든 x,y에 대해 성립해야한다.
그런데 만약 첫번째 항이 x고 두번째 항이 y라고 치면,
x+y=0이 모든 x,y에 대해 성립하는걸까? 당연히 아니다
결과적으로, 두 항 모두 상수여야한다. 그래야 서로 더해져서 항상 0이 될 가능성이 있기 때문이다.
그러면 우리는 식을 이제 세개나 얻는다.
이제 이 각각을 푸는건 꽤나 쉽다.
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굿
마지막단계에선 그냥 양변에 각각 X Y 곱해주고 적분 두번 하면 되는건가...?
일반해를 생각해보시면 됩니다.
X''=CX꼴인데
어떤 함수를 두번 미분해서 자기 자신의 상수배가 나오는 함수는 몇개 없습니다
exponential(지수함수), sin, cos과 이들의 선형 결합밖에 없죠
(물론 X=0도 있습니다만, 얘는 자명해니까 제외
또, sinh, cosh도 exponential의 선형 결합이니까 제외)
그러면 이제 C_1=-C_2니까
C_1을 일단 양수라고 가정해봅시다.
(이 가정이 타당한 이유는 나중에 알게 됩니다.)
그러면 C_1=k^2이라고 놓을 수 있고 C_2는 -k^2으로 놓을 수 있습니다.그러면 첫번째 방정식의 일반 해는
아까 말했듯이 두번 미분해서 부호는 그대로이고, 자기 자신×k^2 나와야 하므로
e^(kx)와 e^(-kx) 둘중 하나입니다.
라플라스 방정식은 선형이므로
이 둘의 선형 결합도 해가 될 수 있습니다.
그러면 X(x)=Ae^(kx)+Be^(-kx)
Y도 같은 방식으로 구해주면
Y(y)=Ccos(ky)+Dsin(ky)입니다.
앞의 경계조건을 생각해보면
x가 무한대로 갈때 V가 0이어야 하므로 자동적으로 A는 0이 됩니다.
또, y=0일때 V가 0이어야하므로
C는 0입니다.
그러면 해는
V(x,y)=Ce^(-kx)sin(ky)꼴 인것을 알 수 있습니다
마지막으로 y=a일때 V=0이므로
k=nπ/a꼴 임을 알 수 있습니다
따라서
V(x,y)=Ce^(-nπx/a)sin(nπy/a)
꼴 이고
아까 모든 선형 결합에 대해서도 성립한다고 했으므로
최종적으로
V(x,y)=Σ(n=1 -> ∞)C_n*e^(-nπx/a)sin(nπy/a)
입니다. C_n은 나머지 경계 조건으로 결정해주시면 되고요