Ahlfors' measure conjecture

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여기서 Λ(Γ)는 Γ의 limit set, \hat{\Bbb C}는 Riemann sphere.

증명이 되게 멋진게 harmonic function의 maximum principle을 이용함. 다시 말해서 핵심은 학부 수학 정도의 지식을 필요로 함(!!)

Sketch proof. Λ(Γ)가 \hat{\Bbb C}가 아닌 어떤 positive measure를 갖는다고 가정.

이렇게 정의하면 \tilde{h}는 harmonic function이고, x로 부터 나오는 geodesic ray들 중에 end가 Λ(Γ)에 있는 비율을 재는 함수임. (물론 설명이 필요한 식인데, 큰그림을 보기 위해서 스킵을 하겠음. 대충 harmonic extension이라는 컨셉을 도입해야함)

만약 x가 H^3에 있는 점인데, Λ(Γ)의 convex hull에 들어있지 않는다면, x를 지나는 plane P_x가 존재해서 CH(Λ(Γ))와 disjoint한 half space를 bound하게 됨. 따라서 x에서 나오는 geodesic ray들 중에서 적어도 절반 이상은 Λ(Γ)를 end로 갖지 못함. 따라서

Λ(Γ)는 Γ-equivariant하기 때문에 \tilde{h}는 harmonic map h: N -> [0,1]로 내려갈 수 있고 또한 N - C(N)에서 h <= 1/2를 만족. 가정에 의해서 C(N)은 compact하고 h는 C(N)의 boundary에서 1/2이하 이므로, maximum principle에 의해서 h는 C(N) 전체에서 1/2이하가 됨. 따라서

만약 Λ(Γ)가 positive measure를 갖는다고 한다면, 어떤 "point of density" x를 갖게 되고, 만약 {x_n}가 x로 geodesic을 따라서 가는 sequence라고 한다면, \tilde{h}(x_n)는 1로 수렴을 하기 때문에 모순. ⬜

증명의 핵심에 쓰인 것은 harmonic function의 maximum principle이고 convex core가 compact하다는 것을 사용함. 만약 maximum principle이 성립만 한다면 convex core가 compact이 아니어도 됨. 서스턴이 이 아이디어를 topologically tame인 hyperbolic 3-manifold 클래스에 적용하는데 성공함:

Theorem (Thurston). If N is topologically tame hyperbolic 3-manifold and h: N -> (0,\infty) is a positive superharmonic function, then

If N = C(N), then h must be constant.

superharmonic function이라는 말은 div(grad h) <=0 이라는 말로 기하적으로는 the greatest increasing하는 방향, 다시 말해서 gradient 방향을 따라서 움직이면 volume은 non-decreasing이고, 반대로 the greatest decreasing을 따라서 움직이면 volume은 non-increasing이라는 뜻. 만약 vector field -grad h로 generate되는 flow를 생각해보면 div(-grad h)는 0 이상이기 때문에 flow는 volume non-decreasing이 됨. -grad h의 flow는 모든 시간에 대해서 정의가 되는 flow이고 h가 positive라는 가정에 의해서 flow는 시간이 지날수록 점점더 느리게 움직임 (비자명). simply degenerate한 end에 있는 sequence of pleated surface의 반지름 1짜리 neighborhood는 bounded volume을 갖고 있음 (비자명). 따라서 flow가 degenerate end를 따라서 더 깊게 갈 수록 거의 기어가게 되는데, flow가 volume non-decreasing이기 때문에 flow가 pleated surface의 bounded volume nbd에 오래 있을 수록 그만큼 그 nbd의 volume은 커야 하는데, 둘의 커지는 속도 차이가 달라서 flow가 degenerate end에 계속 머물러 있을 수가 없음. 따라서 어느순간 뒤돌아서 geometrically finite end를 향해서 가게 됨. 따라서 거의 모든 flow line들은 convex core 밖으로 나가게 됨. flow가 정의상 greatest decrease를 따라서 가기 때문에 convex core에서의 h의 infimum은 항상 boundary에서 갖을 수 밖에 없음.