Broken windows only theorem

M이 compact irreducible 3-manifold possibly with boundary 라고 한다면, JSJ decomposition이라는 것을 할 수 있는데, JSJ는 사람들 이름이고 decomposition이라는 타이틀에 맞게 M을 "단순한" 조각들로 나누는 작업을 하는 것. 일반적인 경우에는 "특별한 성질"을 갖는 T_1,...,T_p 라는 disjoint family of embedded incompressible tori 그리고 A_1,...,A_q라는 disjoint family of embedded incompressible annuli를 M에서 찾을 수 있는데 이걸 따라서 M을 자르게 되면 compact 3-submanifolds of M을 얻을 수 있음. 각각의 조각들은 Seifert fibered 3-manifold이거나 atoroidal manifold가 되고 후자의 경우에는 hyperbolic structure를 갖고 전자의 경우에는 그 외의 다른 geometry를 갖게 됨. atoroidal manifold 조각을 N이라고 하게 된다면, T_i들은 있을 수 없고, A_j들이 N안에 있을 수 있는데, 이걸 따라서 N을 또 자르게 되면 4가지 "조각"들로 쪼개지게 됨:

(1) I-bundle over a surface S.

(2) A solid torus

(3) A thickend torus

(4) An acylindrical manifold

만약 M이 이미 atoroidal이라고 했으면, Seifert fibered manifold 조각들은 없어지고 전부 atoroidal 인 조각들만 남게 됨. 이때 (1),(2),(3)을 합쳐서 "characteristic submanifold" of M 이라고 함. 위에서 말을 안했는데 (1) - (3) 조각들은 아까 annuli를 따라서 잘랐었는데, 각각의 annuli들은 incompressible하게 조각들에 들어가야 함. 따라서, (2)의 경우에는 longitude를 따라서 도는 annuli, (3)의 경우에는 임의의 annuli가 frontier에 속하게 됨. 이 상황에서 properly nonhomotopic한 annuli들의 regular neighborhood들은 I-bundle over annuli가 됨. 이렇게 만들어진 I-bundle over annuli와 (1)을 모두 합쳐서 "Window"라고 정의함.

*여담으로 이걸 "Window"라고 한 이유가, 서스턴이 말하기를 만약 M이 유리로 만들어져있다면, homotopy distortion을 하지 않고 내부 구조들을 볼 수 있는 것들에 해당되기 때문이라고 함. 마치 창문을 통해서는 내부 구조를 그냥 들여다 볼 수 있듯이.

아무튼, 서스턴은 Window라는 개념을 도입해서 Broken window only theorem을 "증명"하고 이걸 이용해서 bounded image theorem이라는 것을 증명했는데, 이게 서스턴의 hyperbolization of Haken manifold 증명에 쓰임. 근데 문제는 Broken window only theorem은 사실 틀렸고(!!) 구체적인 반례가 존재함. 그렇다고 hyperbolization theorem의 증명에 실패한 것은 아닌것이 bound image theorem의 약한 버전인 bounded orbit theorem을 이용하면 여전히 hyperbolization theorem의 증명은 가능 했음. 그리고 bounded image theorem은 Broken window only theorem과 별개로 나중에 따로 증명이 됨.

이제부터 Thurston의 틀린 Broken windows only theorem의 진술을 쓰겠음 (cusp들이 없는 경우만 쓰겠음. cusp들을 포함하면 진술이 복잡해짐). 총 2개의 파트로 되어있고, 파트1은 맞는데 파트2가 틀렸음.

Broken windows only theorem: 만약 M이 hyperbolic 3-manifold with boundary이고, {\rho_i}들이 AH(M)의 sequence라고 하자. W를 M의 window라고 하고 W를 I-bundle로 봄으로서 B를 base surface라고 쓰고 p: W->B를 projection으로 만들어진 fibration이라고 하자. 그러면,

(1) 모든 N - \bar{W} 의 component C에 대해서 {\rho_i|_{\pi_1(C)}}는 up to subsequence 수렴함,

(2) 어떤 incompressible subsurface B' of B가 존재해서 다음이 성립함: 모든 subgroup G<\pi_1(N) s.t. {\rho_i|_G}가 수렴하는 것과 동치는 어떤 N - p^{-1}(B')의 component C'가 존재해서 G가 \pi_1(C')의 subgroup이 되는 것.

(1)를 보면 C는 window에 들어있지 않는 component를 말함. 그리고 그 component의 pi_1으로 restriction을 시켰을때는 항상 수렴하는 subsequence를 찾을 수 있음. (2)를 보면, sequence가 발산하는 조건을 characterize하는데, 정확히 어떤 특정 subwindow 안에 component가 있을 때만 pi_1으로 restriction을 시켰을 때 diverge하게 됨. "Broken window"라는 것은 p^{-1}(B')를 말하는 것이고, 오직 이 곳에서만 \rho_i들을 \pi_1으로 restriction 시켰을 때 발산한다는 뜻.

근데 (2)는 틀렸다고 밝혀졌는데, 반례가 book of I-bundle임. Book of I-bundle은 deformation theory에서 아주 중요한 예시로, 어떤 hyperbolic manifold의 deformation space가 소위 "self-bumping" 하는 경우를 characterize하는 케이스에 해당됨.

motivating example에 해당되는 book of I-bundle의 construction은 쉬운데, solid torus에다가 longitude를 한번 이상 감싸는 disjoint family of annuli들을 고른 다음에, thickened closed surfaces with one boundary의 boundary annuli를 아까 고른 annuli들에 따라서 붙이면 됨.

그리고 이러한 식의 예시가 유일한 방해물이 됨. 다시 말해서, 위의 예시를 커버하도록 진술을 약간 바꾸면 Broken windows only theorem은 참이 됨.