람베르트 W 함수 (ft. 241128미)
게시글 주소: https://orbi.kr/00065457804
여기 귀여운 함수가 있습니다.
그래프 개형은 이러합니다.
개형을 한 눈에 알아보기 위해 y=12xe^x의 그래프를 나타내었습니다.
만약 구간 [0, inf)에서 함수 y=xe^x의 그래프를 y=x에 대칭시키면,
다시 말해 함수 y=xe^x (x>0) 의 역함수를 구할 수 있을까요?
저도 과정에 대해서는 잘 모르지만,
역함수를 구할 수 있으며 이를 Lambert W function이라고 한답니다.
근데 이게 왜 재밌냐!
2024학년도 수능 수학 미적분 28번에서 g(t)를 직접 구할 수 있게 해주거든요..
2g(t)+h(t)=k라는 관계식을 주었으니 당연히 h(t)식도 작성할 수가 있고
비슷한 방식으로 x>5에서의 f(x)식도 논리적으로 작성해낼 수가 있습니다!
저는 처음 풀 때 주어진 관계식 보고 대충 y=2(x-k)e^{(x-k)^2} 꼴이 아닐까
생각하여 적분값으로 k값 결정했는데
굳이 적분값이 없어도 Lambert W function을 통하면 f(x)식을 작성해낼 수
있었던 것이죠! 교과 과정 외의 내용을 가져왔을 때 '과조건'인 셈입니다.
음함수 미분법을 통해 도함수를 구해볼 수도 있고
역함수를 이용한 치환 적분을 통해 부정적분을 구해볼 수도 있고
마찬가지 방식으로 x로 나눈 함수의 부정적분을 구해볼 수도 있습니다.
x로 나눈 함수의 도함수를 구해보시면 신기한 꼴의 함수도
접해볼 수 있으십니다!
Lambert W function과 비슷한 맥락에서
수능 수학을 공부할 때 알아두면 재밌는 함수들에
쌍곡선 함수 (Hyperbolic functions) 가 있습니다.
삼각함수에서 csc(x), sec(x), cot(x) 정의하듯이
앞서 정의한 sinh(x), cosh(x)에 이어 tanh(x), csch(x), sech(x), coth(x)를 정의해주면
tan(x)의 도함수가 [sec(x)]^2가 되듯 tanh(x)의 도함수가 [sech(x)]^2가 되는 것도
확인해볼 수 있으십니다.
람베르트 W 함수와 쌍곡선 함수에 이어
삼각적분함수도 알아두시면 재밌습니다!
이때 라플라스 변환과 이상적분, 리만적분 조금 섞으면
주어진 극한이 pi/2로 수렴함을 보여 두 sin적분함수의 차이가 일정함을 보일 수도 있습니다.
비슷한 맥락에서 cos적분함수에 대해서도 생각해볼 수 있습니다.
이때 gamma는 오일러 상수입니다. 참고로 e는 오일러 수입니다.
비슷한 맥락에서 쌍곡적분함수까지만 살펴보십시다!
함수 Si(x)의 맥클로린 급수는 다음과 같습니다.
참고로 맥클로린 급수란 중심이 x=0인 테일러 급수입니다.
테일러 급수란 미분 가능한 어떠한 함수의 특정 지점에서의 그래프를
n개의 다항함수의 합으로서 나타낼 수 있을 때
그 다항함수들의 합을 뜻합니다. (정확한 정의는 아닐 수 있습니다)
참고로 삼각함수 세 종류의 경우 맥클로린 급수 알고 계시면
위 글 속 내용처럼 도움 받을 수 있으실 때가 있을 거예요!
(굵은 글씨 누르시면 이동 됩니다)
아무튼 알아두시면 재밌을 수 있다는 것이지
저도 아직 수학과 아니라 잘 모르니까 질문은 Google에게 주시고...
2025학년도 수능 대비 파이팅입니다!!
<복습>
- Lambert W function이라는 것이 있는데
이거 쓰면 241128(미) 엄밀하게 풀 수 있다.
- sinh(x), cosh(x), Si(x), si(x), Cin(x), Ci(x) 이런 것도
같이 공부해두면 재밌다.
- 테일러 급수, 맥클로린 급수 익혀두면
삼각함수 극한 처리할 때 편할 수 있다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
#07년생#08년생#독학생 오르비의 주인이 될 기회 37 40
-
근데 0 0
딥피드? 이거뭐임;
-
나른하군 5 0
새삼문득눕고싶은아침이다
-
3월 말까지 할거 추천좀
-
08 현역 겨울 공부 3 0
12~2 국어: 잡도해,국정원 노베 독서, 문학 개념 매뉴얼, 강기분 독서,문학 ,...
-
개학 축하! 1 0
박수박수
-
25년 6월 독서만 풀어봤는데 35분 걸리고 1틀임.. 에이어는 다맞고 그 앞에...
-
송도 방문 1 0
2학기에 살아볼까 너무 재밌을 듯
-
그래서 미장은 언제 살려줄건데 1 0
오늘 개장하면 폭락할까봐 떨리네 물린거만 살려주면 개별주는 다신 안탈게요
-
ㄹㅇㅋㅋ
-
미장은정리좀해야겟음.. 8 0
사실양도소득세때매매년250딱맞춰서해왓는데.. 몰린거빼고다른거정리하고국장비중늘리려고..
-
백날 주식으로 수익을 내도 2 0
결국 내 목표 자산을 달성하는데 있어서는 코인이 결정적인 역할을 하게 될 것 같음...
-
확실히 늙은게 체감이 되는구나 2 0
한 10시간 언저리 할때쯤이면 체력이 오링남
-
수학 야매 고수임 2 0
엄밀하지 않게 감으로 풀고 찍었을때 정답률이 꽤 높음 근데 이렇게 해선 수능때 말아먹겟음
-
늦은 아침 공부 시작 6 1
-
오늘 공부하면 성적 오르겠지 8 0
응 나가보자
-
요즘자꾸정치유튭이추천에뜸.. 5 0
심지어1이랑2가리지않고나옴.. 둘다안좋아하고본적도없는데머지..
-
폰 물에 빠져서 진짜 도움됨 ㄹㅇ..
-
아침머먹지.. 5 0
간단히스팸에계란후라이먹을가..
-
나 보통 공휴일, 일요일엔 공부 쉬는데 오늘도 쉬는 게 맞나?
-
그 나머지도 나의 것은 아니죠
-
기상 2 0
비 와서 도서관 가기 실어요
-
얼버기 6 1
큐어 아르카나 섀도우
-
404 1 0
404
-
아삼쉬사 원래 n제 인가요 1 0
ㅈㄱㄴ
-
내신 대비 수학 기출문제집 0 0
확통, 미적 둘 다 선택했는데 아직 기출을 안돌려서 학기중에 내신 대비용으로 혼자...
-
강기분 노베 0 0
현역입니다 고2 모고는 국어 다 5등급이였고 국정원 노베를 이제 시작했습니다....
-
일반고 내신 1점 중반 경영학과로 생기부 채웠는데.. 2년 내내 내신 수학...
-
시작 24시간중 16시간 깨어있다 가정하면 5/16 ㅜㅜ
-
수학n제추천좀 4 1
이해원s1 드릴7 풀고 뭐풀어야
-
-
오늘부터 독재등원 1 0
1일차
-
2023 워드마스터 하이퍼로 올해 수능 준비해도 될까요.. 1 0
큰 변경점이 있을까요?
-
많은 친구들이 내일 처음으로 4 0
개강맛을 보겠구나..
-
김준커리 0 0
22개정 화학 할건데 pre인가 뭔가도 들어야하나요?
-
얼버기이 3 0
-
현역정시는 국어공부를 언제함? 0 0
겨울방학에 공부하다보니 오전에 국어하는게 루틴처럼 고정되어서 개학하면 이제 앞에서...
-
어젯밤에 처음으로 과음했는데 4 0
자다가 심장 두근거리고 아파서 깸 역류성 식도염인건가 아니 술마신지 7시간이나...
-
enfp인걸 알지만 1 0
enfp인게 싫어서 esfp로 살아가고있음
-
마음이 좋지 않구나 2 0
인생에 대해서 뭐 이리 압박을 느끼며 살아야 하는걸까..
-
날이 흐리군 5 0
비가오려나보군 아니 이미 오는건가
-
시대 재종 맞팔 ㄱㄱ 0 0
시대 다니는 사람??
-
오피셜인가요? ㄷㄷ
-
칼기상 10 0
칼의 기상
-
좋은 아침입니다. 5 0
-
은사 빵터 0 0
중계은사 빵터 오디있음?
-
즐 5 0
-
거 0 0
-
워 0 0
-
요 0 0
-
지금 이 상황인데 이거 효율적으로 답 구하는 방법 좀 알려줘보셈 설마 전개해서 다...
화학 느낌이..
반데르발스 방정식? 공유 결합에서 원자 간 거리에 따른 힘 변화 보는 그래프였던가요
선생님 경제학과에서 이런거 배우나요?
"네"
중간에 '과조건'인 셈이었다는 표현은 수정하도록 하겠습니다! 적분값이 있어야 k값 결정이 가능하고 k=5가 결정되어야 f(x)=2(x-5)e^{(x-5)^2} (x>5) 를 결정할 수 있습니다.
후 재밌겠다
20 11 가 30
헉 201130(가)도 람베르트 오메가 함수로 무언가가 되나요? 내일 쉬는 시간에 갖고 놀아 보겠습니다...
아무튼 g, h 식 구할 수 있더라...~
와 재밌당 ㅎㅎ
KAIST에서 가톨릭대 의대 ㄷㄷㄷ 닉이 상당하십니다
ㅋㅋ 닉만 그렇지 카이에서지사의가기로 바꿔야겠어요 ㅠㅠㅠㅠ
끝까지 파이팅입니다 :)
넵 ㅋㅋ 감사해요
저거 부정적분 x(W(x)-1+1/W(x))+C가 맞습니다