책참 [1020565] · MS 2020 · 쪽지

2023-11-29 05:07:17
조회수 2,819

람베르트 W 함수 (ft. 241128미)

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여기 귀여운 함수가 있습니다.


그래프 개형은 이러합니다.


개형을 한 눈에 알아보기 위해 y=12xe^x의 그래프를 나타내었습니다.



만약 구간 [0, inf)에서 함수 y=xe^x의 그래프를 y=x에 대칭시키면,


다시 말해 함수 y=xe^x (x>0) 의 역함수를 구할 수 있을까요?




저도 과정에 대해서는 잘 모르지만,


역함수를 구할 수 있으며 이를 Lambert W function이라고 한답니다.


근데 이게 왜 재밌냐!



2024학년도 수능 수학 미적분 28번에서 g(t)를 직접 구할 수 있게 해주거든요..



2g(t)+h(t)=k라는 관계식을 주었으니 당연히 h(t)식도 작성할 수가 있고


비슷한 방식으로 x>5에서의 f(x)식도 논리적으로 작성해낼 수가 있습니다!


저는 처음 풀 때 주어진 관계식 보고 대충 y=2(x-k)e^{(x-k)^2} 꼴이 아닐까


생각하여 적분값으로 k값 결정했는데


굳이 적분값이 없어도 Lambert W function을 통하면 f(x)식을 작성해낼 수 


있었던 것이죠! 교과 과정 외의 내용을 가져왔을 때 '과조건'인 셈입니다.




음함수 미분법을 통해 도함수를 구해볼 수도 있고



역함수를 이용한 치환 적분을 통해 부정적분을 구해볼 수도 있고




마찬가지 방식으로 x로 나눈 함수의 부정적분을 구해볼 수도 있습니다.



x로 나눈 함수의 도함수를 구해보시면 신기한 꼴의 함수도


접해볼 수 있으십니다!




Lambert W function과 비슷한 맥락에서


수능 수학을 공부할 때 알아두면 재밌는 함수들에


쌍곡선 함수 (Hyperbolic functions) 가 있습니다.

삼각함수에서 csc(x), sec(x), cot(x) 정의하듯이


앞서 정의한 sinh(x), cosh(x)에 이어 tanh(x), csch(x), sech(x), coth(x)를 정의해주면


tan(x)의 도함수가 [sec(x)]^2가 되듯 tanh(x)의 도함수가 [sech(x)]^2가 되는 것도


확인해볼 수 있으십니다.




람베르트 W 함수와 쌍곡선 함수에 이어 


삼각적분함수도 알아두시면 재밌습니다!


이때 라플라스 변환과 이상적분, 리만적분 조금 섞으면




주어진 극한이 pi/2로 수렴함을 보여 두 sin적분함수의 차이가 일정함을 보일 수도 있습니다.




비슷한 맥락에서 cos적분함수에 대해서도 생각해볼 수 있습니다.


이때 gamma는 오일러 상수입니다. 참고로 e는 오일러 수입니다.




비슷한 맥락에서 쌍곡적분함수까지만 살펴보십시다!




함수 Si(x)의 맥클로린 급수는 다음과 같습니다.


참고로 맥클로린 급수란 중심이 x=0인 테일러 급수입니다.


테일러 급수란 미분 가능한 어떠한 함수의 특정 지점에서의 그래프를


n개의 다항함수의 합으로서 나타낼 수 있을 때


그 다항함수들의 합을 뜻합니다. (정확한 정의는 아닐 수 있습니다)




참고로 삼각함수 세 종류의 경우 맥클로린 급수 알고 계시면


테일러 급수를 삼도극에 (ft. 220628)


위 글 속 내용처럼 도움 받을 수 있으실 때가 있을 거예요! 


(굵은 글씨 누르시면 이동 됩니다)



아무튼 알아두시면 재밌을 수 있다는 것이지


저도 아직 수학과 아니라 잘 모르니까 질문은 Google에게 주시고...


2025학년도 수능 대비 파이팅입니다!!





<복습>

- Lambert W function이라는 것이 있는데 


이거 쓰면 241128(미) 엄밀하게 풀 수 있다.


- sinh(x), cosh(x), Si(x), si(x), Cin(x), Ci(x) 이런 것도


같이 공부해두면 재밌다.


- 테일러 급수, 맥클로린 급수 익혀두면


삼각함수 극한 처리할 때 편할 수 있다.

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