Haken
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만약 M_1이 closed orientable Haken manifold이고 M_2는 irreducible 3-manifold인데 M_1과 homotopy equivalent 하다고 하면 모든 pi_1에서의 isomorphism pi_1(M_1) -> pi_2(M_2)는 homeomorphism으로부터 induced 된다.
만약 M과 N이 pi_1에서 isomorphic한 Haken manifold들일 때, M과 N 각각의 boundary component들이 homeomorphic하고 이 homeomorphism들이 pi_1(M)과 pi_1(N)의 peripheral structure에 isomorphism을 induce한다고 하면 이 homeomorphism들이 M과 N 사이의 homeomorphism으로 extend가 가능하다.
만약 M_1이 Haken, acylindrical이라고 한다면, 모든 homotopy equivalent한 irreducible compact 3-manifold M_2는homeomorphism과 homotopic 하다.
Haken manifold는 Haken hierarchy 때문에 topological rigidity가 있음.
Virtual Haken Theorem [Ian Agol] 이 말하는 것은 closed hyperbolic 3-manifold M은 어떤 Haken manifold를 finite cover로 갖는다는 것. Agol은 가정을 만족하는 M의 pi_1은 CAT(0) cube complex에 freely and cocompactly act를 한다는 알려진 사실을 이용해서 CAT(0) cube complex에 proper, cocompact하게 act하는 hyperbolic group (위에 세팅에서는 pi_1 M에 해당) 이 어떤 성질을 만족하는지 조사해서 증명함.
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