적분을 가로로 하는법

Question

오늘은 적분을 가로로(?) 하는 법에 대해서 생각해볼게여.

자 밑에 그림 하나 보고 가실게여

우리가 일반적으로 적분을 계산할 때, 어떻게 하죠?

위 그림과 같이 함숫값에 대해서 세로로 직사각형을 만들고 이제 직사각형의 가로를 굉장히 작게 만들어서 뭐 쉽게 말하면 축과 함수 으로 둘러 싸인 부분의 넓이를 구할 수 있을 거에요

i.e

$XGludCBfezB9XnsxfSB4ZHg9XGxpbSBfe21cdG8gXGluZnR5fV57IH0gXHN1xBhuPTF9XnttfSBcZnJhYyB7a317bl4yfQ==$

와 같이 계산할 수 있을 거에요. 그럼 당연히 값은 이 나올겁니다. maybe?

원래라면 적분을 가로로(?) 하려면 굉장히 많은 것들이 base로 필요하겟지만, 그런건 다 주어져있다라고 가정해보고

그냥 해보죠.

아래 함수

$eT14XjM=$

이 주어져있고, 현재 그어진 직선들은 각각

$eT0xLCB5PTEuMQ==$

입니다. 그럼 우리의 의문은 이겁니다. 만약

$XGludCBfezB9XnsxfSB4XjNkeA==$

를 계산하고 싶다. 이겁니다. 그런데 직사각형을 세로로 말고 가로로 쌓는거죠. 즉 다시 말하자면, 우리가 흔히 직사각형을 에 대해서 가로의 길이를

$XGZyYWMgezF9e259$

으로 두고 만들어서 더해서 극한을 취하는데 세로의 길이를

$XGZyYWMgezF9e259$

으로 만들어서 적분을 할 수 있는가? 요골 한 번 보여봅시다.

집합 하나를 생각해봅시다. (왜 수식에서 중괄호가 안되는건가요)

$KHh8IGZeey0xfSh4KT0xKQ==$

얘는

$Zih4KT0x$

인 모든 의 집합임을 알 수 있습니다.

그럼 세로로 직사각형을 만들어보져? 세로의 길이가 인 직사각형을 만들어보는거에요. 그럼 대강 우리가 partition을 이렇게 잡을 수 있겟죠.

$MCwgIFxmcmFjIHsxfXtufcoPMsYPLi4uLCAx$

로 축을 나누고, 그에 따라 가로를 만들어야할텐데.... 얘를 어떻게 만들까요?

위에 집합처럼 만들면 되겟죠? 또한 우리가 계산하고 싶은값이 니깐, 0<x<1의 부분에서 직사각형의 가로의 길이를 정하면 될거에요. 우리가 집합 E의 길이를 m(E)라 하면

i.e

$bSh4fCAgZl57LTF9KCB4KT4gXGZyYWMgezF9e259YW5kMDx4PDEp$

는 결국 y=인 애의 직사각형의 길이(?)가 될거에요. 물론 일반적 적분처럼 상한, 하한, 이렇게 계산을 해보아야하겟지만, 그런거 없이도 충분히 계산 할 수 있기 때문에 바로 directly 계산을 해보죠.

$XHN1bSBfe2s9MX1ee259IFxmcmFjIHsxfXtufW0oeHwgZl57LTF9KHgpPsgca8QcYW5kIDA8eDwxKQ==$

얘가 결국 을 세로로 만든 직사각형의 넓이의 합이겟지요 그럼 우리가 가장 중요한것은 얘

를 어떻게 계산하냐인데

그래프에서 보면 결국 얘의 길이는

$MS0gIFxzcXJ0WzNdeyBcZnJhYyB7a317bn19$

인거를 확인할 수 있겟지요.

결국

는

$XGludCBfezB9XnsxfSAxLSBcc3FydFszXXt4fWR4$

일거고 결국 답은

$XGZyYWMgezF9ezR9$

일거죠. 그럼 다시보면,

$XGludCBfezB9XnsxfSB4XjNkeD0gzhUxLSBcc3FydFszXXt4fWR4$

임을 알 수 있는데,

$XHNxcnRbM117eH0=$

얘 어디서 많이 봤단 말이죠..?

맞네요

$eF57M30=$

의 역함수였네요~

솔직히 조금 더 어렵지만 굉장히 이해하기 쉬운 예제를 가져오려했는데 수식 작성이 너무 빡세네요

그런데 m(E) 얘가 왜 꼭 구간의 길이여야할까요?

궁금하시면 대학원가시면됩니다.

수학복수전공의대생 · Accepted Answer

저거 중괄호는 입력하기 좀 복잡한데 한컴 입력기 기준으로 'LEFT{'랑 'RIGHT}'라고 쓰면 되는 걸로 알아요(수식 문법 자체에 중괄호를 써서...)

적분을 가로로 하는법

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