부분적분법의 의미
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위와 같이 곱 형태의 어떤 함수를 적분하는 상황을 맞이합니다.
만약 이러한 관계라거나
이러한 관계라면 치환적분법을 통해 적분을 해결할 수 있습니다.
하지만 그렇지 않은 상황을 떠올려봅시다.
약간의 식 조작을 통해 적분을 편하게 만들 수 있다면 다행이지만,
그렇지 않은 상황이 대부분일 것임을 우리는 적분 문제 몇 개 풀다 보면 느낄 수 있습니다.
만약 주어진 적분을 다른 곱 형태의 함수를 적분하는 상황으로 바꿀 수 있다면 어떨까요?
그리고 그렇게 찾은 새로운 상황이 적분을 더 쉽게 할 수 있는 상황이라면 어떨까요?
부분적분법의 의미 파악은 이렇게 시작합니다.
주어진 적분을 다른 곱 형태의 함수를 적분하는 상황으로 바꾸는 것!
처음 이 문제를 봤을 때 내가 아는 것은 fg인데
(나) 조건은 f^2g'를 적분하고 있고 묻는 값은 x^3f(x)를 적분하고 있어 당황스러울 수 있습니다.
곱 형태의 적분이 (나) 조건에 보이므로 부분적분법을 통해 다른 형태로 바꾸어봅시다!
(가) 조건을 이용해보기위해 우리는 [f(x)]^2를 미분하고 g'(x)를 적분하는 방향으로의 부분적분을 떠올릴 수 있습니다.
이제 (가) 조건을 이용하면 다음과 같습니다,
이를 정리해주면
위와 같은 식을 얻을 수 있습니다.
이때 오른쪽의 적분식은 미적분학의 기본 정리에 따라 f(1)-f(-1)을 의미하므로 단순하게 바라볼 수 있습니다.
왼쪽의 적분식은 곱 형태이므로, 다시 한 번 부분적분법을 적용해봅시다.
문제에서 x^3f(x)의 적분을 묻고 있으니 x^4를 미분하고 f'(x)를 적분하는 쪽으로 부분적분법을 적용해보겠습니다.
이제 다시 전체 적분식을 정리해주면, (나) 조건에 의해 다음을 얻습니다.
따라서 답은 15, 2번이 됨을 확인할 수 있습니다.
이처럼 부분적분법은 어떤 곱 형태의 적분을 새로운 곱 형태의 적분으로 바꾸어줄 수 있다는 의미를 지니고 있습니다.
그리고 그 새로운 형태의 적분에서 곱해진 각각의 함수는 기존의 적분식에 위치하던 함수들과 미분적분의 관계를 지니고 있죠!
이와 같은 생각을 지니고 부분적분법을 바라보시면 평가원 기출 문항, 앞으로의 평가원 문항과 다양한 n제/실모에서 접할 수 있는 적분 문항들 (소위 '적분 퍼즐'이라고 불리는) 을 조금 더 논리적이고 체계적으로 접근해보실 수 있을 거예요!
물론 수능 수학을 비롯한 수능 문항들이 모두 '내가 쓸 수 있는 도구는 이러한 것들이 있는데, 이것들을 적절히 잘 활용해봐' 느낌이기 때문에..
곱 형태의 적분을 보면 치환적분법이나 부분적분법 둘 중 하나 몇 번 적용해보는 것도 우연한 풀이 발견의 방법이 될 수 있습니다 ㅋㅋㅋㅋ
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