극한 오개념 질문 (해결해주시면 소소한 깊티)
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이게 무한으로 발산하는지 1인지 정의 불가능인지 명쾌한 해답이 나오지 않아요.
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발산 아니에요?
lim(x->inf) (1+1/x)^x=e때문에 모르겠어요
그거랑은 다른 경우일걸요 이건
발산합니다.
극한 안에 극한이 있는 꼴의 경우에는, 무조건 바깥쪽 극한의 숫자들(이 경우 x)을 적절한 실수로 생각하고 안쪽 극한의 내용을 완전히 처리한 후 바깥쪽 극한을 처리해야 합니다.
e랑 비슷해보이는데 그건 안되나요?
e의 경우에는 같은 x로 극한이 구성되어 있기 때문에, 예를 들어 (1+1/x)^x 에서 1+1/x를 1로 처리하고 lim (x->inf) 1^x를 계산하여 1을 얻는 것이 불가능합니다.
lim (x->inf)(lim y->inf x/y)는 0이지만, lim (x->inf) (x/x)가 0이 되지는 않는 것과 비슷한 이유입니다.
이게 1+를 어떻게 이해하는지가 문제인거 같은데 일단 현재 고등학생인 저로써는 1에 한없이 가까워진다고 이해할수밖에 없어요. 이 이해에 기반했을때 lim(x->inf) (1+1/x)^x=e이고, lim(x->inf)(1+1/x)는 직관적으로 보았을때, 1+보단 클듯 합니다. 예를들어, 1+1/x보단 1+1/x^2이 더 1에 가깝죠. 이러면 끝도 없어요
그리고 lim(x->inf) (1+1/(x^2))^x=1이더라고요
네, 실제로 lim(x->inf){(1에 수렴하는 식)^(무한대로 발산하는 식)}은 어떤 식을 고르냐에 따라 0, 무한대, 그리고 그 이외의 어느 값도 가질 수 있습니다.
1^(무한)을 0/0, 무한/무한처럼 부정형이라고 하는 이유죠.
사실 이게 고등 과정에서 극한을 제대로 정의하지 않아서 생기는 문제긴 합니다.
최대한 간단히 설명하자면, 극한의 엄밀한 정의는 ‘무한히 가까워진다’, ‘무한히 크다’와 같은 수학적으로 애매한 말이 아닌, 실수들에 기반한 말들로 이루어집니다. lim(n->inf) f(n)=inf 라는 것은, "n이 무한히 커질 때 f(n)도 무한히 커진다“가 아닌, ”어떤 실수 x에 대해서도 n이 충분히 크면 항상 f(n)>x이다“(사실 이것도 단순화한 것이기는 합니다)처럼 정의됩니다. 이게 한번쯤은 들어보셨을 수도 있는, 엡실론-델타 논법이죠.
따라서 lim(x->1+) f(x)=L과 같은 식을 이해할 때, ‘1+’라는 표현은 '1에 무한히 가까운‘ 실제 수를 의미하는 것이 아닌, 1에 가깝고 1보다 큰 여러 수들이 나타내는 성질에 대한 일반화로 이해하시는 것을 추천드립니다.
극한을 제대로 정의하지 않아서 생기는 문제인건 확실해 보이는데 그냥 그렇다더라.. 하고 끝내기엔 찝찝하네요 위에 제가 썼던 논리에 대한 명쾌한 반박도 궁금하고..
‘1+’라는 숫자조차 아닌 표현과 극한기호 내부에서는 의미가 없는 lim(x->inf)(1+1/x)에 대한 크기비교를 할 수는 없지만, 굳이 따지자면 lim(x->inf) (1+1/x)는 '1+‘를 나타내는 표현이라고 할 수 있습니다.
이걸 설명하는 것이 도움이 될지 모르겠지만, lim(x->a) f(x)=L을 나타내는 또다른 방법은 “극한이 a인 모든 수열 bn에 대하여 lim(n->inf) f(bn)=L이다”기 때문입니다.
수열 bn=1+1/n은 1에 수렴하므로, lim(x->1+) f(x)=L이라면 lim(n->inf) f(1+1/n)=L입니다.
위의 논리대로라면, 1+1/x가 1+1/x^2보다 크므로 ’1+‘는 1+1/x보다 작아야 되는 것이 아니라, 1+1/x와 1+1/x^2 모두 ‘1+'를 나타내는 아주 많은 방법 중 하나인 셈이죠.
일단 정성스러운 답변 감사합니다!
1+1/x나 1+1/x^2 모두 1+를 나타내는 방법중 하나라는거도 어느정도 납득할 수 있겠어요.
그리고 (1+1/x)^x는 x값이 함께 이동하면서 뭔가 변화하지 않았을까.. 하는 추측인데 지금 정말 혼란스러워요. 1+를 나타내는 방법중 하나라면 더욱이 e가 나오는게 이상하고, x값이 함께 이동하면서 나온 결과라면 아무리 1+1/x 가 1+를 나타낸다고 하지만 그건 계산 후의 결과일뿐 1+1/x자체에서 극한으로 가는 과정 속에 1+1/x보다 1에 가까운 수는 항상 존재하는게 아니냐는 의문이 들어요.
아마 발산한다면 무한대로 보내지는 연산이 먼저 들어가서 이게 더 절대적인 무한대이기 때문에 1+와의 힘싸움?에서 이기지 않았을까.. 예상합니다 제가 이해한게 맞을까요?
일단 마지막 줄은 정확합니다. ‘1+1/x 자체에서 극한으로 가는 과정 속에‘, x에 아무리 큰 수(예를들어 a)를 집어넣더라도 1+1/a보다 1에 가까운 수는 무조건 존재할 수밖에 없습니다.
그러나 우리가 1+와 ’비교하는‘ 대상은 ‘1+1/10000’과 같은 x에 아무 수나 집어넣은 한 개의 결과가 아닌, lim(x->inf)라는 표현 속에 있던 (1+1/x)입니다. 그리고 이 1+1/x는 1+의 성질을 잘 나타냅니다.
예를 들어, 어떤 함수 g(x)를 그림과 같이 정의한다고 합시다. 1+를 숫자처럼 취급하여 g(1+)의 값을 고려한다면, g(1+)는 명백히 1일 것입니다. 또한 lim(x->inf) g(1+1/x)도 1입니다. 저기에서 g(x)의 함수값이 바뀌는 지점이 1.0000001이 된다면, g(1+1/10000)=2일 것입니다. 1+1/10000보다 1에 가까운 수가 존재한다는 증거죠. 그러나, g(x)의 함수값이 바뀌는 지점이 1보다 큰 한(즉, g(1+)가 1인 한) lim(x->inf) g(1+1/x) 또한 1입니다.
lim(x->inf) (1+1/x)^x에서 1+1/x를 단순히 1+의 형태로 보면 지수 ^x를 해결할 수 없기 때문에, 1+1/x와 지수의 x를 동시에 고려해야 하는 것이 맞습니다.
또한 아까 전에 “lim(x->inf) (1+1/x)는 1+를 나타낸다”라는 것은 단순히 이해를 돕기 위한 표현임에 주의하시길 바랍니다. lim(x->1) f(x)=L일 필요충분조건은 lim(n->inf) an=1을 만족하는 ‘모든’ 수열에 대해 lim(n->inf) f(an)=L인 것이기 때문에, 이를 너무 과하게 적용하면 틀린 결론이 나올 수 있습니다.
’아마 발산한다면 무한대로 보내지는 연산이 먼저 들어가서 이게 더 절대적인 무한대이기 때문에 1+와의 힘싸움?에서 이기지 않았을까.. 예상합니다‘<- 이 부분은 잘 이해가 안되네요. 혹시 더 절대적인 무한대가 뭘 말하시는 건가요?
선생님 질문 하나 드리고 싶은데
x의 무한 제곱이더라도 결국 연속함수인데 1의 극한으로 보내면 그냥 1 아닌가여?
여기의 맥락에서 x의 무한 제곱은 연속함수가 아닙니다.
모든 자연수 n에 대해 x^n은 (당연히) 연속함수이지만, f(x)=lim(n->inf) x^n은 x=1에서 불연속이며, x>1에서는 정의조차 되지 않습니다.
글쿤여
답변 감사함다
lim(x->1+)(f(x))로 봤을때 그래프를 저렇게 표현하면 안될거 같긴 하지만 저런 식이고, 1+는 명백히 발산하게 된다는거 같습니다. 리미트 속 리미트는 연산을 끝내고 밖의 리미트 값을 적용해야 하는걸로 알고있는데, 그걸 적용하였을때 1+가 1에 가까워지는 속도와 무한으로 가는 속도를 비교하는게 의미가 없어진다는걸 더 절대적인 무한대라고 표현한거 같아요. 직관적으로만 극한을 받아들이다 보니 이상한 점이 많은듯 합니다. 1+1/x가 1+를 나타내는 표현이라는건 맞지만 lim(a->(lim(x->inf)(1+1/x)))(lim(n->inf)(a^n))에서 a가 1+를 나타내는거고 (1+1/x)^x로 함께 극한으로 가는건 함께 연산을 하기때문에 지수가 무한대로 가는 속도와 1에 수렴하는 속도의 차이를 비교해야 하겠죠. 이렇게 이해했습니다. 어느정도 명확해진거 같네요!
근데 또 이렇게보면 무한대 지수는 정의될 수 없다고 알고있는데.. ㅋㅋㅋ 여기부턴 제가 고민할 영역이 아닌거 같습니다
울프럼에 넣어봤을때 답이 안나오는걸 보면 어딘가 문제는 확실히 있을듯 합니다.
쪽지 보내드렸으니깐 확인 부탁드려요!
놀랍게도 울프람은 극한 속 극한 꼴 처리를 못합니다;;ㅋㅋㅋㅋㅋ
생각보다 약간 바보같은(?)면이 많아요
간단하게 정리되는 꼴을 초등함수도 아닌 함수로 복잡하게 표현할 때도 있고...
좋은 예
(저 극한은 수렴하고, 값은 정확히 1/3입니다)
지금까지 울프럼이 진리라고 믿어왔건만... 이럴수가엄밀하지는 않지만 일단 적당히 이해하신 것 같네요
lim(n->inf) x^n에서의 n도 1+처럼, x^(무한대)가 아니라 x^(큰 자연수) 꼴이 가지는 성질을 표현한 것으로 생각하시면 됩니다. 실제로 무한대는 아니니까 괜찮은 거죠.
이중극한은 괄호 안부터 푸시면 조금 나아요
안부터 계산할 때는 x를 1보다 조금 큰 상수로 잡고 n을 무한대로 보내면 지수함수 꼴이니까 무한대로 발산하는 거 같네요
엥 근데 미적인가요..수2인줄
확통이 말은 무시하세요
확통이이긴 한데 전 수렴할 거 같은..
명쾌한 누군가의 답이 궁금하네여 되게 재밋네
둘 중 어떤 극한이 세기가 센지에 따라 수렴하거나 발산할 것 같습니다. (+1이 크면 수렴, 무한이 크면 발산)
그 둘이 평형(+1을 1+(1/무한 or) 무한을 1/1-1+ 로 표현)을 이룰 때가 e라는 상수이고요.
수렴을 하지 않는 극한으로 함수를 정의할 수 있냐는 이슈가 남아있긴 하지만 만약 그렇다고 한다면 lim(x->1+)(f(x))라고 보는게 맞고, 1+에선 무한대인게 명백해 보입니다.