수많은 억까 끝에 드디어 올리는 5모 미적분, 기하, 물리학2, 화학2 풀이!!!

와 진짜 드디어 올라왔네 이거 게시하려고 얼마나 많은 시도를 했는지 원

아니 자꾸 글 중간이 끊기는 현상이 발생해서 애를 먹었었는데, 이제 그 현상이 없어졌네요 다행이다

아무튼

5월 학력평가를 응시하시느라 모두 수고 많으셨습니다!

수학 공통, 미적, 기하, 물2, 화2 순으로 이야기해보겠습니다.

공통

6번 : 주어진 식의 양변에 cosθ를 곱해야 합니다. tanθ=sinθ/cosθ인 건 아시죠...?

7번 : 극값을 갖지 않으려면.. 마침 도함수가 이차함수 꼴이므로 이 함수가 중근을 가져야 되겠군요.

8번 : 절댓값이 있다고 쫄지 마시고, 차분하게 범위에 따라 나눠주고 푸시면 됩니다. 그나저나 지수부등식은.... 왠지 반갑게 느껴지네요.

9번 : 4점 시작입니다. 먼저 주어진 식에 x=0을 대입해서 저 우측 끝의 상수가 3이란 걸 캐치하신 뒤, 양변을 미분하고, 다항함수임을 통해 f(x)의 꼴을 추론해야 합니다.

10번 : 그냥 S_n-S_n-1=a_n (n>1) 임을 이용하신 뒤, n=1일 때도 식이 성립하는지 확인하세요. n=1일 때도 성립하네요.

문제에서 모든 항이 자연수이고 공차가 서로 같다고 했으니 a_n, b_n은 각각 4n+2, 4n-2 중 하나겠군요. 그럼 결국 두 수열의 합은 8n입니다. 끝.  

11번 : 거저 주는 위치-속도-가속도 문제입니다. 이건 꼭 실수하지 말고 맞힙시다.

12번 : 삼각형 OCA, ACB가 넓이가 서로 같다는 걸 통해서 선분 OA, AB의 길이가 같다는 걸 반드시 알아야 합니다.

그럼 A의 x좌표의 2배인 2a^k/3이 B의 x좌표 t라는 걸 알 수 있겠네요. 또한 그림에서 나타냈듯, y좌표도 B가 A의 2배란 걸 통해서 하늘색 식을 세울 수가 있습니다. 그럼 모든 상수를 구할 수가 있어요.

13번 : x-3에서 f(x)를 뺀 함수는 결국 최고차항 계수가 -1인 새로운 이차함수입니다. 또한 문제로부터, AB와 f(x)가 이루는 부분의 넓이를 x=3이 이등분한다고 돼있던데, 이는 결국 x-3-f(x)의 두 교점의 중앙이 바로 x=3이란 것을 뜻합니다. x=3에 대해서 대칭이니까요.

다 됐습니다. 이제 위처럼 계산을 좀 거치면, f(x)를 완전한 식을 구할 수가 있어요.

14번 : 사실 위처럼 풀기 전에, 온갖 개X랄X병을 떨었습니다. 근데 저렇게 풀린다는 걸 그제서야 깨달으니, 엄청난 허탈감이 찾아오더군요.

아무튼, 두 원의 반지름을 각각 r, 2r이라고 두고, 두 원은 선분 AB를 공통으로 갖고 있으니, 사인법칙을 써봅시다. AB=2r sinc=4r sina. 즉, c의 사인값은 a의 사인값의 2배임을 알 수 있습니다.

이제 여기서 삼각형 ACE에 대해서 사인법칙을 쓰셔야 합니다. 그러면 선분 AE가 6이란 걸 알아낼 수 있습니다.

이제 뭐하고 싶나요? 삼각형 ADE의 세 길이를 모두 아니까, 코사인법칙을 써서 각 ADE의 코사인값을 알아낸 뒤, 다시 삼각형 CDE에 대해서 코사인법칙을 쓰셔야죠! 끝!

15번 : 극한값으로부터 f(x)는 x⁴+ax³+bx²+x 꼴이란 걸 빠르게 알아냅시다. 이제 g(x)를 분석해봐야 합니다...

보아하니, g(x)는 각 구간마다 x 혹은 f(x)의 형태를 가져야 하며, 이때 g(x)는 연속이어야 한다네요. 여기서 (가)를 봐보죠. 저 말은 결국 g(x)는 x=2에서 미분가능하지 않다는 말이랑 똑같습니다. 즉, x=2 구간에서 g(x)는 x<2일 때 x이고 x≥2일 때 f(x)이어야 하거나, 혹은 그 반대여야 한다는 거죠. 즉, f(2)=2이어야 합니다. 이를 통해 b=-2a-4라는 것도 알 수 있어요.

이제 (나) 조건을 봅시다. 이건 별 거 없어요. g(-x)=-g(x)를 만족시키려면, |x|≥a에서(f(x)에서의 a랑 다름) g(x)는 무조건 x이어야 합니다. 왜냐고요? 생각해보세요. f(x)는 x의 절댓값이 커질수록 함숫값 또한 증가하죠? 거의 W 모양이죠? g(x)=f(x)이라면, 절대로 g(-x)=-g(x)를 만족시킬 수가 없겠죠?

여기서 f(x)는 원점과 (2,2)를 반드시 지나야 하니, 각각 (4, 4)를 추가로 지나는 경우와 (-4, -4)를 추가로 지나는 경우로 나누어야 합니다. (나) 조건에서 a의 최솟값이 4라고 했으니까요.

여기서 끝이 아닙니다. x=2에서 미분가능하지 않도록 그림을 수정해야 해요. 저 파란 그림처럼 말이죠. 그러면 g(-2), g(3)의 값도 금방 나오죠?

아차, (4, 4)를 지나는 경우에서, [0, 2)일 때 g(x)=f(x), [2, 4)일 떄 g(x)=x인 경우는 왜 고려 안하냐고 궁금해 하실 텐데요. 그러면 (나) 조건을 만족시키는 a의 최솟값이 4가 아니라 2가 돼버립니다. (-4, -4)를 지나는 경우도 비슷하고요.

20번 : 그림을 먼저 그려봐서 k의 범위가 어디인지 바로 파악하시고, sin(tkπ)=sqrt(3)k, cos(tkπ)=-k 이므로 tan(tkπ)=-sqrt(3)임을 알아내셔야 합니다. 간단하.....죠?

21번 : 저 조건을 만족시키는 건 f(x)가 하나의 실근과 두 중근을 가질 경우입니다. 여기서 이 중근은 0일 수도, 아닐 수도 있습니다. f(0)=0이니까요.

만약 f(x)가 세 개의 서로 다른 실근을 가진다면, t<0에서 g(t)+g(t-4)가 불연속인 점이 있을 겁니다. 이러면 안 되죠. 불연속인 곳에서의 t는 0, a이고, 심지어 a가 양수인데.

여기서 f(x)의 극댓값이 4보다 큰지, 작은지, 아니면 4랑 같은지에 따라 경우를 나누어야 합니다. 이 과정을 거치다 보면, 극댓값이 4여야만 한다는 걸 알 수 있어요. 

여기서 또 다시 경우를 나누어야 합니다. 중근이 0일 때랑, 아닐 떄랑 각각 나누셔야 합니다. 그러면.. 최솟값이 200임을 알 수 있죠. 최댓값은 704고요.

22번 : 수열입니다. a₅=x라고 두신 후, a₄, a₃를 각각 경우를 나눠서 구해주세요. 여기서 중간에 무리방정식이 나오는데, 보통 이 방정식은 양변을 제곱해서 이차방정식으로 정리해서 푸시잖아요? 근데 여기서 나온 근들이 초기의 무리방정식을 만족시키는지 반드시 확인하셔야 합니다.

그런데 이것보다 더 중요한 게 있습니다. a₄=-sqrt(x)일 때, 0 이하의 a₃을 제곱해서 a₄=-sqrt(x)가 나와야 하는 경우가 저는 처음엔 없다고 생각했었거든요? 근데, x=0일 때가 있었습니다. x는 0 이하잖아요. 와... 이것 때문에 답을 59로 적을 뻔했습니다;;

그 후, a₃에 대해서 다시 연산을 수행하다보면, a₁들이 나오게 됩니다. 이때 (가) 조건 a₁a₂>0에 주의하세요.

미적분

26번 : 저런 교대급수는... 이제 껌이어야 하죠.

27번 : 주어진 식에 x=0을 대입해서 e^f(0)을 찾아내세요. 그리고 역함수의 도함수의 성질 g'(f(x))f'(x)=1을 이용하여 우리가 구하고자 하는 것이 1/f'(0)이란 걸 미리 알아내셔야 합니다. 이제 주어진 식을 미분해서 f'(0)을 구하면, 게임이 끝납니다.

28번 : 보자마자 합성함수 그려서 ㅈㄹ하려고 했는데, 진정하고 다른 더 좋은 방법을 강구해봤습니다. 우선 f(x)를 미분해서 (가)를 만족시키는 x를 찾아보려고 했습니다. 그랬더니, sinx와 cos(a+bcosx)의 곱이 -1이 되는 x가 존재한다는 정보를 얻어냈습니다. 이러면, sinx=1, cos(a+bcosx)=-1일 때랑, sinx=-1, cos(a+bcosx)=1일 때로 나뉘어진다는 거잖아요? sinx의 기준에 맞춰서 적절한 x의 값들을 적어보고, 그에 따라 cosx가 0이 되므로, cosa는 -1 또는 1이어야 한다는 정보가 나옵니다. 결국 a는 π, 3π, 5π, 혹은 2π, 4π, 6π이어야 한다는 거죠.

이제 (나)를 분석해봅시다. 분자식이 x=0일 때 0이어야 함을 통해서 f(a)이 정수라는 걸 알아내고, 그 다음에 저 사인식을 덧셈정리를 통해서 분해해줘야 합니다. 그러면 그림에서 적어준 빨간 식이 나오게 돼요. 저기 lim가 좌측에 있고 우측에 b/a가 있는 식 보이시죠?

이제 (가)로부터 구한 a의 값들을 f(x)에 대입해봅시다. 그러면 f(a)는 두 경우에서(cosa=-1, cosa=1인 경우) 모두 sinb랑 동일하다는 걸 알 수 있어요. 또한, (나)를 처음 분석할 때 f(a)가 정수라고 했잖아요? 즉, f(a)는 -1, 0, 1중 하나를 가져야 합니다. sinb는 -1 이상 1 이하잖아요.

(나) 분석 과정의 마지막에서 유도한 b/a에 관한 식을 이용합시다. f(a)=1일 땐 b/a가 음수가 나와서 탈락. f(a)=0일 땐 b/a=0이 되므로 탈락. 즉, f(a)=-1이어야 합니다. 그러면 a=4b가 나오죠.

그러면 sinb=-1이어야 하니까, 이를 만족함과 동시에 a, b가 모두 7π보다 작다는 것 또한 만족시키는 b를 찾으시면 됩니다. b=1.5π, a=6π. 

29번 : f(θ)을 완전히 θ에 대한 식으로만 표현하는 건 미친 짓이었습니다. 차라리 저렇게 치환하고 미분하는 것이 훨씬 더 나아요. 아니, 그냥 이게 의도된 풀이 방식인 듯 합니다.

저는 이 문제를 좌표평면으로 풀었습니다. 먼저 A을 원점으로 잡은 뒤, 저 원의 방정식을 세워서 P를 (x, y) 좌표로 표현했습니다. 그러면 xtanθ=y인 걸 알 수 있고, 또한 x, y가 원의 방정식의 한 점이란 걸 알 수 있어요. θ=π/6일 떄 x=3sqrt(3)/2란 것을 알아내고, 각각 미분해서 dx/dθ를 구하면 풀리는 문제였습니다.

......그래도 여전히 어렵네요

30번 : 또 수열입니다. 만약 a_n의 공비 r이 0보다 크고 1보다 작으면(모든 항이 양수니 공비도 양수여야 함), n이 충분히 클 때 b_n은 -1과 1 사이에서 진동하게 되어 결국 발산합니다. 즉, (가) 조건에 위배돼요. 만약 r이 1보다 크면 (가)가 성립이 안 되는 것 아니냐 할 수 있는데, 이때 n이 충분히 크면 b_n은 a_n 형태로 변하게 됩니다. 여기서 (가)가 수렴한다고 했으니, 급수 내부의 수열의 극한값은 0이겠죠. 즉, r=3입니다.

(나) 조건을 분석하기 위해서 그림처럼 경우를 나누어야 합니다. 보니깐 b_n은 n=5일 때부터 a_n의 형식을 갖게 되네요. 아차, 제가 깜박하고 n=4일 때부터 b_n이 a_n 형태로 변하는 경우를 고려 안 했네요.............. (여기부터 자꾸 끊김)

기하

23번 : A를 원점으로 잡고 벡터 성분으로 풀었습니다.

26번 : 쌍곡선의 점근선 식, 아시죠?? 

27번 : 그냥 뭐... 준선 정의만 잘 알면 간단히 풀리는 좋은 문제입니다. 삼각형 AFF'(F'은 C₂의 초점)은 이등변삼각형이었군요!

28번 : 먼저 타원의 방정식을 적어줍시다. 그리고 AF의 기울기 -p가 P₀에서의 접선의 기울기랑 같아야만 주어진 도형의 넓이가 최대가 됩니다. 삼각형 ABF랑 AFP로 쪼개보세요. 그럼 p=5a/(6b)라는 식이 나오는군요.

또한 A, B가 x축 대칭이므로 BF의 길이는 AF'의 길이랑 같으며, 문제에서 주어진 세 선분의 길이에 대한 조건을 이용하면, F' A, P₀은 한 직선 위에 있단 걸 확인할 수 있습니다. 왜냐하면 타원 위의 한 점에서 두 초점에 이은 두 선분의 합은, 타원의 장축의 길이랑 동일하거든요.

이제 직선 F'A, F'P₀에서의 기울기를 이용해서 p=b/(a+1)이란 식을 도출하고, 5a/(6b)=p라는 식과, (a, b)가 타원의 방정식을 만족한다는 것을 이용해 서로 연립하면, a, b가 나오게 되죠.

29번 : 선분 F'P, OP, OF의 길이가 모두 c로 같다고? 그러면 각 F'PQ는 직각이어야 합니다!! 우측에 원 모형으로 간략히 나타냈어요!

쌍곡선의 한 점에서 두 초점에 이은 두 선분의 길이의 차는 일정합니다. 이 사실과, 각 F'PQ가 직각이라는 정보를 이용하면, c와 PF의 길이를 쉽게 구할 수 있어요!

30번 : 벡터 문제입니다. 먼저 G의 자취를 그려주시고, 저 문제에 주어진 벡터식을 살짝 변형시켜서 분석이 용이해지도록 만듭시다. 그러면 그림의 노란색 계열의 선분의 길이를 p에 대해 나타냄과 동시에 G₁G₂의 길이를 구할 수가 있어요. ...값을 모르지만, 어쨌든 우리가 정한 상수 p에 대해 표현할 순 있습니다. 또한 그림에서처럼 G₂가 AD의 수직이등분선 위에 있단 것도 알 수 있네요.

...이 후부터 저는 막혔습니다. 그래서 최후의 수단인 좌표평면을 이용하였죠. B를 원점으로 잡고 G₁, G₂의 좌표를 나타내고, 직선의 방정식을 그림처럼 이용하면, p가 나오게 됩니다.

힘드네요....;;

물리학2

2번 : 저처럼 2차원 돌림힘으로 푸실 수도 있고, 아니면 힘의 평형으로 푸실 수도 있어요.

5번 : 이차함수 식을 세우려고 하지 마시고, 평균 속도를 사용해서 가속도를 구하세요...

7번 : ...눈으로 풀기 어려우니 차라리 그냥 삼각함수로 나타내세요. 그게 확실합니다.

8번 : ....??? 난이도 실화..? 우우우 실망

9번 : 수평 방향 속도는 일정하고, 연직 방향 속도는 처음엔 0이었으니 서로 동시에 수평면 위에 도달합니다.

10번 : A가 관측할 땐, 물체가 가속하고 있는 걸로 보이니 알짜힘이 0이 아닌 걸로 관측하게 되죠.

11번 : 열의 일당량. Q=cmT 기억하시죠? 추의 중력 퍼텐셜 에너지의 변화량이 바로 액체가 받은 열량입니다. 이때 열의 일당량이 주어져 있음에 유의하세요.

12번 : θ에 대해서 정리를 하려고 했는데 은근 귀찮았습니다. 그래도 이 방법을 써야만 θ를 구하고 답도 구할 수 있으니 꾹 참고 계산을 하였습니다.

13번 : 다시 보니 좀 무식하게 풀었네요. 변수 단순화를 좀 할 걸 그랬네요.

14번 : 발문만 길지, 생각보다 쉽습니다. 선지에서 묻는 게 은근 단순하거든요. 상수에 대해 정리한 식이 나오지 않아 있으니 마음 편하게 푸시면 됩니다. 

15번 : 각 구간에서의 가속도 크기는 각각 a, 2a이고 걸린 시간은 각각 2t, t라고 했으니, 운동 에너지 증가량 조건을 활용하시면, at=0.5v임을 알 수 있어요! 그러면 각 점에서의 속력도 구할 수 있습니다. 나머진 역에보!

16번 : 쉬어가는 문제입니다.

17번 : 축 돌리기...? 라고 생각했는데, ㄴ선지에서만 간접적으로 다루게 됩니다. ㄴ선지가 참이니 r에서의 연직 방향 속도를 바로 파악할 수 있겠죠. p, q의 높이가 동일하니까요. 이와 비슷한 문제는 230617이었던 걸로 기억합니다.

18번 : 캬 이거지 이게 진정한 최고급 돌림힘이지 내가 이런 유형을 원해왔다고 1차원과 2차원이 섞인 돌림힘이야말로 진정한 일품 문제로다

19번 : 이제 전기력 크기를 물어봐도, 놀랍지도 않고요.

20번 : 마지막은 쉬운 등가속도 문제로 마무리. 여기서 (12L, 2L)에서 (3L, 0), (3L, 0)에서 (0, 2L), (0, 2L)에서 (3L, 8L)까지 이동하는 데 걸린 시간은 모두 t로 동일함을 인지하셔야 합니다.

화학2

4번 : 연소가 뭔진 아시죠? 연소할 때, 주위에 열을 방출해서 주변이 뜨겁게 느껴지잖아요. 그게 바로 발열 반응입니다.

9번 : 4번을 고르셨다면, 삼투압의 정의를 다시 한번 살펴봅시다. 그리고 삼투압의 중요한 공식이 있죠. π=CRT. 여기서 C는 몰 농도입니다.

12번 : ㄱ에서 물질이 기체에서 고체로 변화할 때, 열을 방출해야 하므로(에너지가 낮아지니까) 반응 엔탈피 a는 음수입니다. 또한 결합 에너지는, 반응식에 있는 모든 물질이 기체일 때에만 구할 수 있어요!

13번 : .......이거 신유형인가요...? 직선의 기울기를 이용해서 푸는 건 또 처음 보네요...ㅎㅎ

15번 : 증가 압력 내림 기억하시죠? 특정 온도에서의 물의 증기 압력에, 물의 몰분율을 곱하면, 그게 바로 그 용액의 증가 압력이 됩니다. 반대로, 용질의 몰분율을 곱하면, 그것은 증기 압력이 내려간 정도를 말하고요.

16번 : .....저처럼 감이 잘 안오신다면, 무식하게 푸는 것도 방법입니다...;;

17번 : 무난한 평형. A, B의 분자량 비가 2:1이란 걸 꼭 알아둡시다!

18번 : 무난무난한 PV=nRT

19번 : 평형에 관한 개념을 다시 정리할 수 있는 문제입니다. 

20번 : 흔한 기체 유형으로 화2 마무리

제 풀이에 오류가 있다면 알려주세요..!