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책참 [1020565] · MS 2020 · 쪽지

2023-07-09 16:05:43
조회수 5,001

미적분학의 기본 정리 (FTC) 증명

게시글 주소: https://orbi.kr/00063696681

참고로 FTC는 the fundamental theorem of calculus의 줄임말입니다.





증명해봅시다!


구간 [a, b]를 n개의 구간으로 나누고 각 구간의 경계를 작은 수부터 a, x_1, x_2, x_3, ... , x_(n-2), x_(n-1), b라고 합시다. 고등학교 미적분에서는 구간을 등분하여 구분구적법을 설명하지만, 실제로는 꼭 등분할 필요는 없습니다. 마찬가지로 각 구간의 경계에서의 함숫값을 택할 필요 없이 구간 내의 아무 값이나 골라도 괜찮습니다. 자세한 내용은 각자 미적분학에서 Riemman Sum 찾아봅시다.




여기서 평균값 정리를 이용하면 다음을 얻을 수 있습니다.




이때 F'(x)=f(x)이므로 이를 이용해 앞서 얻은 식을 정리하면




위와 같습니다.


이제 양변에 극한을 걸어주면, 우변의 극한이 수렴할 때 정적분의 정의에 의해




가 됩니다. 물론 우리는 f(x)가 연속함수일 때만을 다루므로 극한은 항상 수렴합니다.


따라서




가 성립함을 증명했습니다. 다음!










구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)에 대해 함수 g(x)를 위와 같이 정의할 때




가 됨을 증명해봅시다. 편의상 h>0일 때부터 생각해보면




이고 최대 최소 정리에 의해 구간 [x, x+h]에서 f(x)는 최댓값과 최솟값을 갖습니다.




구간 [x, x+h]에서 f(x)가 x=k_1에서 최솟값 m, x=k_2에서 최댓값을 M을 지닌다 할 때 다음이 성립할 것입니다.




이제 각 변에 극한을 걸어주면




에서




이기 때문에 함수의 극한의 성질에 의해 (샌드위치 정리)




가 성립함을 확인할 수 있습니다.



h<0일 때도 같은 방식으로 다루어주면 다음의 결론을 얻습니다.




이때 f(x)가 연속함수이기에 g(x)는 미분 가능한 함수이고 따라서 좌변의 극한이 수렴해 g'(x)=f(x)임을 알 수 있습니다.

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