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솔로깡 [576988] · 쪽지

2015-08-08 12:39:36
조회수 561

Monty Hall Problem

게시글 주소: https://orbi.kr/0006355295

경우의 수와 확률관련 문제에 있어서 뷔폰의 바늘던지기, 요세푸스 점화식, 교란순열 등등 수많은 문제가 있지만 사실상 일반인들에게 가장 유명한 것은 "Monty Hall Problem"일거다.

 

1963년부터 약 40년 정도 지속된 미국 TV쇼인 "Let's make a deal"의 진행자 Monty Hall의 이름을 따서 붙여진 이 문제는 다음과 같은 rule을 만족시킬 때 [가장 최선의 방법]을 구하는 것이다.

 

 

1. 세 개의 문이 있다. 하나의 문 뒤에는 고급 자동차가, 나머지 2개의 문 뒤에는 염소(양이라고 적힌 글도 있긴 하더라. 사실여부 확인 필요.)가 있다.

 

2. 출연자가 이 3개의 문 중 하나를 선택하면 진행자는 나머지 2개의 문 중에서 염소가 있는 문 하나를 열어 보여준다.

 

3. 그리고 진행자는 출연자에게 열리지 않은 2개의 문 중에서 다시 한 번 문을 선택할 기회를 준다. (남은 2개의 문 중에서 선택을 바꿀 것인지, 원래의 문을 소신껏 그대로 선택할 것인지.)

 

4. 최종적으로 선택된 문을 열었을 때, 염소가 나오면 꽝. 고급 자동차가 나오면 그 고급 자동차를 가질 수 있다.

 

 

과연 이 상황에서 어떤 선택이 최선일 것인가? 당대 대부분의 수학자들은 어짜피 어느 문을 고르나 확률은 1/3이 되었다고 생각하거나, 사회자가 한 개의 문을 제거하였으므로 두개의 문에서 선택하는 것이므로 확률이 1/3에서 1/2로 증가할 것이라고 계산했다.

 

하지만 당대 최고의 IQ소지자라고 알려진 마릴린 사반트가 1990년 "선택을 바꿀 경우 확률이 2/3으로 올라간다"라고 말한 것이 정답으로 받아들여졌다. (물론 이를 받아들이지 못한 수학자들에 의해 처음에는 거센 항의를 받았다.)

 

 

 

 

표를 그리거나 조건부 확률로 접근하는 방법도 있겠지만, 가장 간단히 생각하는 방법은 다음과 같다.

 

 

- 1번, 2번, 3번 문에 자동차가 있을 확률은 각각 1/3이다.

 

- 우승자가 한 개의 문을 선택했을 때, 차가 있을 확률은 1/3, 나머지 두 개의 문에 차가 있을 확률은 2/3이다.

 

- 그런데 진행자가 나머지 두 개의 문 중 하나를 열어준다. 즉, 두개 묶어서 확률이 2/3이었던 것이, 하나가 사라졌으므로, 결국 하나만 2/3인 셈이다.

 

- 따라서, 문을 바꾸지 않았을 때는 1/3, 문을 바꾸었을 때는 2/3의 확률로 차를 얻게 된다. 무려 두 배 차이의 확률이다.

 

 

 

 

납득이 잘 안간다면, "문을 바꾸는 확률"과 "문을 바꾸지 않는 확률"이 배반사건임을 기억하라. 문을 바꾸거나, 바꾸지 않거나 두 시행밖에 없다. 당연히 1-(1/3)이니 답은 2/3. 배반사건을 이용해서도 쉽게 납득할 수 있다.



타 커뮤니티에서 썼던 글 복붙함.

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솔로깡 [576988]

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