Monty Hall Problem
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경우의 수와 확률관련 문제에 있어서 뷔폰의 바늘던지기, 요세푸스 점화식, 교란순열 등등 수많은 문제가 있지만 사실상 일반인들에게 가장 유명한 것은 "Monty Hall Problem"일거다.
1963년부터 약 40년 정도 지속된 미국 TV쇼인 "Let's make a deal"의 진행자 Monty Hall의 이름을 따서 붙여진 이 문제는 다음과 같은 rule을 만족시킬 때 [가장 최선의 방법]을 구하는 것이다.
1. 세 개의 문이 있다. 하나의 문 뒤에는 고급 자동차가, 나머지 2개의 문 뒤에는 염소(양이라고 적힌 글도 있긴 하더라. 사실여부 확인 필요.)가 있다.
2. 출연자가 이 3개의 문 중 하나를 선택하면 진행자는 나머지 2개의 문 중에서 염소가 있는 문 하나를 열어 보여준다.
3. 그리고 진행자는 출연자에게 열리지 않은 2개의 문 중에서 다시 한 번 문을 선택할 기회를 준다. (남은 2개의 문 중에서 선택을 바꿀 것인지, 원래의 문을 소신껏 그대로 선택할 것인지.)
4. 최종적으로 선택된 문을 열었을 때, 염소가 나오면 꽝. 고급 자동차가 나오면 그 고급 자동차를 가질 수 있다.
과연 이 상황에서 어떤 선택이 최선일 것인가? 당대 대부분의 수학자들은 어짜피 어느 문을 고르나 확률은 1/3이 되었다고 생각하거나, 사회자가 한 개의 문을 제거하였으므로 두개의 문에서 선택하는 것이므로 확률이 1/3에서 1/2로 증가할 것이라고 계산했다.
하지만 당대 최고의 IQ소지자라고 알려진 마릴린 사반트가 1990년 "선택을 바꿀 경우 확률이 2/3으로 올라간다"라고 말한 것이 정답으로 받아들여졌다. (물론 이를 받아들이지 못한 수학자들에 의해 처음에는 거센 항의를 받았다.)
표를 그리거나 조건부 확률로 접근하는 방법도 있겠지만, 가장 간단히 생각하는 방법은 다음과 같다.
- 1번, 2번, 3번 문에 자동차가 있을 확률은 각각 1/3이다.
- 우승자가 한 개의 문을 선택했을 때, 차가 있을 확률은 1/3, 나머지 두 개의 문에 차가 있을 확률은 2/3이다.
- 그런데 진행자가 나머지 두 개의 문 중 하나를 열어준다. 즉, 두개 묶어서 확률이 2/3이었던 것이, 하나가 사라졌으므로, 결국 하나만 2/3인 셈이다.
- 따라서, 문을 바꾸지 않았을 때는 1/3, 문을 바꾸었을 때는 2/3의 확률로 차를 얻게 된다. 무려 두 배 차이의 확률이다.
납득이 잘 안간다면, "문을 바꾸는 확률"과 "문을 바꾸지 않는 확률"이 배반사건임을 기억하라. 문을 바꾸거나, 바꾸지 않거나 두 시행밖에 없다. 당연히 1-(1/3)이니 답은 2/3. 배반사건을 이용해서도 쉽게 납득할 수 있다.
타 커뮤니티에서 썼던 글 복붙함.
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딱히 큰 지각이 필요한 것도 아니라.... 오히려 확률적으로 생각하는게 더 쉽습니다. 헷갈리는거만 조심하면. 근데 헷갈려서 망 ㅜㅜ
헷갈리는 게 확률에 대한 정확한 지각이 떨어지는 거죠
(지각과 감각소여, 인식론에 대한 러셀의 입장을 설명하려다 문득 '내가 이래서 솔로구나'를 깨닫고 눈물을 흘리며 댓글창을 닫는다)
닉값
현실은 머피의법칙
저번 설대 자전 시험에 나왔음ㅋ
문이 1억개 있다고 했을때 무작위로 고른것 하나 vs 나머지 9999만 9999개를 제외한 하나 확률을 따지는 문제로 생각하면 편해요
그 방법이 곧 위에서 제시된 방법과 근본적으로 같은 맥락입니다 :)