필요충분조건, 동치 (ft. 대안)
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똑똑한 사람이면 명문대에 합격한다 (o)
명문대에 합격하면 똑똑한 사람이다 (x)
뛰어난 사람이면 대기업에 합격한다 (o)
대기업에 합격하면 뛰어난 사람이다 (x)
미분 가능하면 연속이다 (o)
연속이면 미분 가능하다 (x)
미분 가능하면 도함수가 연속이다 (x)
도함수가 연속이면 미분 가능하다 (o)
공부를 잘하면 메이플을 한다 (x)
메이플을 하면 공부를 잘한다 (o)
이처럼 'A면 B다' 구조에서 참이거나 거짓인 명제를 볼 때 'B면 A다' 구조의 명제도 참 혹은 거짓이라는 같은 결과를 따를 것이라 판단하지 마세요! 이는 위험합니다.
주어진 정보가 참일 때 그 정보를 내가 생각하기 편한 방향으로 바꾸어 바라보는 것은 어떤 상황에서나 쓸모 있습니다. 예를 들어 평행한 방향으로만 이동 가능한 2차선 도로와 그 도로에 수직인 횡단보도만 존재하는 교통 상황을 가정해봅시다. 차량 신호등 불빛이 빨간색으로 변했을 때 약 2~3초 후 횡단보도의 신호등 불빛이 초록색으로 변할 것이라 예측하는 것은 유용합니다. 이는 특정 상황에서 '차량 신호등불빛이 빨간색'임과 '횡단보도 신호등 불빛이 초록색'임이 높은 확률로 필요충분조건이기 때문에 우리가 예측할 수 있는 것입니다.
위 사진 속 문제는 [2024학년도 6월 20번]인데 주어진 부등식 조건을 해석하는 것이 문제의 핵심이었습니다.
첫 번째 부등식의 경우 함수 g(x)가 최고차항의 계수가 1/3인 삼차함수이므로 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 그 말은 함수 g(x)가 x=4에서 극소임을 의미합니다. 따라서 이로부터 방정식 f(x)=0 의 서로 다른 두 실근 중 더 큰 값이 4임을 확정지을 수 있었습니다.
비슷한 논리로 두 번째 부등식의 경우, 만약 함수 ㅣg(x)ㅣ가 x>=1에서 미분 가능하다면 ㅣg(x)ㅣ가 x=3에서 극소임을 나타냈을 것입니다. 이는 g(x)가 x=3에서 극소이고 g(3)>0이거나 극대이고 g(3)<0이라는 뜻인데 전자의 경우 앞서 확인한 '함수 g(x)가 x=4에서 극소다'에 모순이고 후자의 경우닫힌 구간 [1, 5/2]에서 g(x)>=g(4)가 성립하지 않으므로 모순입니다. 따라서 함수 ㅣg(x)ㅣ는 x>=1에서 미분 불가한 지점을 갖습니다, 다시 말해 함수 g(x)의 부호가 변동하지만 접선의 기울기가 0이 아닌 지점이 존재합니다. 이때 주어진 두 번째 부등식 ㅣg(x)ㅣ>=ㅣg(3)ㅣ이 성립하기 위해서는 g(3)=0이어야 함을 알 수 있습니다. (왜냐하면 g(x)가 x축보다 위치할 때도, 아래에 위치할 때도 부등식이 성립하기 위해선 ㅣg(x)ㅣ가 0 이상이라는 점을 고려할 수 있기 때문입니다, g(3)=/=0이라 가정하고 귀류법을 통해 g(3)=0이라는 결론에 도달하는 것도 좋은 방법입니다)
만약 이 문제를 풀 때 첫 번째 부등식 g(x)>=g(4)를 보고 g'(4)=0이라는 조건만 챙겼다면 방정식 f(x)=0 의 한 실근이 4라는 것만 알았을 것입니다. 하지만 이는 실제 상황과 다릅니다. 만약 방정식 f(x)=0 의 서로 다른 두 실근 중 더 작은 값이 4인 상황을 생각해보면 부등식 g(x)>=g(4)가 성립할 수 없음을 확인하실 수 있습니다. 다시 말해 [x>=1에서 g(x)>=g(4)]와 g'(4)=0은 필요충분조건이 아니었던 것입니다. 저 정보의 동치 표현은 [g'(4)=0이고 충분히 작은 양수 h에 대해 g'(4-h)<0이며 g'(4+h)>0] 입니다.
이처럼 수능 수학 문제를 해결할 때나 현실 문제 상황들에서 접하는 어떤 정보들을 보다 편한 방식으로 바라보고자 할 때 우리는 내가 생각한, 단순화한 결과가 실제의 필요충분조건인지를 확인할 필요가 있습니다. 다시 말해 '내가 이거 쉽게 정리해봤는데, 이게 정말 원본이 갖고 있는 모든 정보를 그대로 갖고 있나?'를 한 번쯤 확인해볼 필요가 있다는 뜻입니다.
제가 태재대와 같이 기존 한국 대학 교육 시스템과 다른 시스템을 갖춘 대안에 끌리고 이를 소개한 이유도 처음 제시했던 필요충분조건 고려의 중요성을 보여주는 명제를 통해 알 수 있습니다.
똑똑한 사람이면 명문대에 합격한다 (o)
명문대에 합격하면 똑똑한 사람이다 (x)
현재 한국 교육 시스템은 안정적이고 분명한 장점을 지니고 있다고 생각합니다. 하지만 명문대 졸업생 중 뛰어난 성과를 보이는 사람들이 세대를 거듭하며 보이는 이유는 그들이 똑똑해서이지 그들이 명문대를 나왔기 때문이 아닙니다. 다시 말해 뛰어난 사람은 어딜 가나 좋은 성과를 내는데, 그 뛰어난 사람들이 각자가 주인공이 되던 대학 입시에서 좋은 결과를 보였기 때문에 명문대에 합격하고 졸업한 것이지, 명문대에 합격하고 졸업했기 때문에 그들이 뛰어난 사람이 된 것은 아니라는 뜻입니다. 물론 일반화할 수는 없습니다, 평범했지만 명문대에서의 경험을 통해 더 뛰어난 역량을 갖추게 된 이들도 분명 존재할 것입니다.
명문대에 가기 위해 n년 동안 소득의 1/3을 사교육에 투자하고, n년 동안 하루 14시간씩 책상 앞에 틀어박혀 처음 읽는 글을 10분 내에 파악해서 관련 질문들에 답하는 법을 공부하고 다항함수의 특수한 개형이 지니는 비율 관계를 기억하고 30분 내에 20문제를 풀기 위해 과학 지식이 아닌 문제 풀이 방법을 연구하고, 막상 대학에 와서는 하루 14시간씩 학업에 에너지를 투자하지 않는 현상은 분명 정상은 아닐 것입니다.
이러한 현상을 해소하기 위해선 좋은 대학을 나오지 않아도 충분히 먹고 살 만큼 경제 활동으로부터 소득을 챙길 수 있을 사회 구조를 만들어가고, 중고등학교 교육 현장의 모습을 바꾸기 위한 대학 교육의 변화도 필요할 것입니다. 또한 본인이 뛰어나기 때문에 명문대에 간 이들이 더 높은 목표를 향해 성장해갈 수 있도록 더 다양한 교육 경험을 제공하는 교육 기관도 필요할 것입니다. 과거에 대학이 만들어졌던, 대학이 사람들에게 제공하고자 했던 경험을 지금 제공해줄 수 있는 그러한 교육 기관이 필요할 것입니다.
이 대안을 찾는 일이 어렵고 그것을 주류의 흐름으로 만들어 더 나은 사회를 만들어가는 일이 얼마나 어렵고 또 실질적인 어려움들이 다분할 것이라는 것은 저도 잘 알고 있습니다. 하지만 그렇다고 시도조차 하지 않고, 분명한 문제와 모순들을 안고 있는데도 기존 시스템대로만 흘러가고자 한다면 그 사회는 더 발전할 수 없는 것은 물론 그동안 보여온 만큼의 성과를 보이길 이어가는 것도 어려울 수 있다고 생각합니다.
저는 수학 강사가 아니지만 수험생 분들의 수능 수학 학습을 돕기 위해 제 사고 과정을 담은 글을 과외생 분들께, 그리고 입시 커뮤니티에서 접하는 분들께 공유하고 있습니다. 저는 교육 정책 결정자가 아니지만 더 나은 교육 환경, 교육 경험과 사회 구조가 무엇인지를 고민하고 이에 대한 대안을 제시하기 위해 관련 논문을 읽고 책을 읽고 교육학과 교수님들과 이야기를 나누고 수험생 분들, 대학생 분들과 이야기를 나누고 있습니다. 그리고 저는 태재대학교 홍보대사가 아니지만 다양한 방식으로 사람들에게 태재대의 존재를 알리고 한국 교육 개혁의 필요성과 방향에 대한 제 생각을 전하고 있습니다.
뛰어난 사람들이 더 뛰어난 무언가를 만들어갈 수 있도록, 뛰어난 사람들이 명문대에 가기 위해 불필요한 시간을 보내지 않도록 한국 교육에 변화가 필요하다고 생각합니다. 한국은 이해 관계가 얽힌 다양한 주체들로 인해 변화를 이어가지 못하는 분야가 몇 있다고 알고 있습니다. 더 나은 방향으로의 교육 변화를 위해 태재대와 같은 새로운 시도가 한국에도 늘어났으면 합니다. 분명 더 나은 방식이 존재하고 그것이 가까운 미래에 한국 교육 전반에 적용될 수 있을 것이라 생각합니다. 물론 그러한 변화가 주류의 흐름을 지니기 전까지 혹시 모를 경우의 수를 대비해 수험생 분들께서는 2024학년도, 2025학년도, 2026학년도 수능 대비를 소홀히 하지 않으시길 바랍니다. 저도 대학생이 된 후 그래왔듯이 앞으로도 힘이 닿는 대로 수험생 분들께 (특히 수능 수학과 관련된) 도움을 드릴 수 있도록 하루 하루 열심히 살아가겠습니다. 다들 내일 하루도 후회없는 순간들로 채워가길, 목표하는 바를 성공적으로 이루기 위한 작지만 확실한 하나의 발판으로 활용하길 바라며 글 닫습니다. 감사합니다!
p.s. 이 글은 메이플스토리 New Age 쇼케이스 다녀와서 영감을 받아 진담 반, 농담 반으로 작성하기 시작했습니다 ㅋㅋㅋㅋ 7월 13일에 대규모 업데이트가 진행되니 신규 유저 분들이나 복귀 유저 분들 많이 늘어났으면 좋겠네요~
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항상 궁금했는데 '책참'의 의미가 뭔가요? '책'이 冊이 맞나요?
후에 밝힐 일이 있을 것 같은데 본명과 관련되어 있습니다! 말씀해주신 한자는 아닙니다, 그런데 저 한자에 '벨 참' 합쳐서 책참에 새로운 뜻을 부여해보는 것도 재밌어보이네요 ㅋㅋㅋㅋ 책은 원래 둔탁한데 [지식을 쌓아 시야를 예리하게 깎아내어 현실을 베어라] 정도의 의미로.. 감사드립니다
ㅇㅎ 그렇군요
저는 최소라고 갈아치웟어요 히히
수능 수학은 머 답만 맞추면 끝이죠! 잘하셨습니다 ㅋㅋㅋ
그론데 최소 맞지않나유 미분가능한함수에서 범위 주어지고 + 극소면 최소를 나타내는 text맞지않나잉..
구간 [1, inf)에서 함수 g(x)가 x=4에서 최소를 갖는다
이렇게 해석하셨다는 뜻이라면 논리적으로 적절하죠!! 다만 g(x)가 우리가 다루기 쉬운 삼차함수라는 점에서 저는 '삼차함수 g(x)가 x=4에서 극소를 갖는다'로 바라보는 것이 더 자연스럽다고 생각했었습니다. 범위 주어지고 극소라고 해서 최소임을 확정할 수는 없기 때문에 (미분가능한 함수에 대해 어떤 구간에서 극소가 1개 존재하면 최소 확정이지만 극소가 2개 이상 존재하면 극소라고 해서 최소라고 확정지을 수는 없음) '미분 가능한 함수에서 범위가 주어지고 극소인 지점을 알면 그 지점은 최소다'라는 문장 자체는 거짓이라고 말해야합니다.
물론 제가 말한 맥락 모두 고려해서 말씀해주신 것 같지만요 ㅎㅎ
책참님이 지적하신 문제를 해결하기 위해 지금까지
정치인들이 나름대로 수많은 해결책들(입학사정관제, 수능 등급제 등)을 들고 왔지만… 왜 저는 학력고사가 가장 이싱적으로 보이는 걸까요..?
제가 학력고사에 대해 잘 알진 못하는데 대학본고사, 학력고사 등 과거에 시행되었던 시험의 형태들 중에서 오히려 지금 적용했을 때 더 나은 상황을 만들어갈 수 있겠다 싶은 부분을 저도 확인했습니다. 분명 과거의 문제들을 해결하기 위해 새로운 시도를 한 것일텐데 저도 가끔 보면 '차라리 옛날 방식이 낫지 않나?' 싶은 때가 있더라고요.. 적절한 조합을 이룬 변화가 필요해보입니다
구관이 명관이라는 말이 있죠.
그토록 까지 못해 안달인 ‘줄세우기 일제고사 시스템’은 마라톤처럼 40만 명이 함께 뛰면 오히려 든든하게 느껴질 수도 있는데 지금 체제는 옆의 짝꿍을 꺾어야 내신 성적을 따는 시스템이니까요.
수행평가처럼 창의력과 협동력을 평가하는 부문은 애초에 절대평가로 성적을 매기는 게 맞다고 봅니다.
그걸 동아시아의 입시 경쟁과 버무려 버리니 해괴한 결과물이 나와 버렸죠.
우리는 그 해괴한 결과물을 직접 겪은 사람들로 남더라도 내 자식들은 그러지 않았으면 좋겠네요.. 가까운 미래에 더 나은 대입 시스템과 사회 구조를 볼 수 있길 절실히 소망합니다
인간은 천성이 게을러 터져서 혁신적 토론식 교수법 그딴거 안통합니다. 강제성이 있는 경쟁적 환경에서 성장할 수 있습니다.
그렇다 하기엔 이미 토론식 교수법이 학습에 효과적인 결과를 가져왔다는 연구들이 많아서 대체적으로 통하는 것 같습니다. 강제성을 지닌 경쟁적인 환경 통제도 장점이 있다고 생각해요!
토론식 수업은 메타인지 향상에 크게 도움이 되므로 엄청난 성장을 안겨다줄 수 있습니다. 구시대적 교육관을 따르는 것도 좋지만.. 새로운 메타에 맞춰가시는 게 더 좋을 것 같아요.
책참님 저도 20학번 재학 중인데 태재대 원서 씁니다 같이 화이팅해봐요 ㅎㅎ
파이팅입니다!! 만약 합격한다면 합격했다는 사실만으로도 내가 앞으로의 사회에 필요한 인재라는 확신을 다른 대상으로부터 받는 셈이니 기분이 좋을 것 같고 합격하지 못하더라도 내가 생각하는 이상적인 모습을 향해 도전해봤다는 사실이 좋은 경험으로 남을 것 같아요. 최종 합격 전까지 '할 수 있다'라는 자기 암시를 계속 스스로에게 할테지만 만약 합격하지 못한다면 '나는 아직 부족했구나'하며 사실을 겸허히 받아들이고 지금 학교에서의 학습 분위기 변화를 제 주변에서부터라도 주도해볼 생각입니다.