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참 새 [1131545] · MS 2022 · 쪽지

2023-05-23 20:29:24
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복소수 오개념 풀이

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1. 허수는 존재하지 않는 상상의 수(개념)이다. (X)

7. 허수는 현실에 존재하지 않는다. (X)


'현실에 존재한다' 라는 말부터 제대로 정의할 필요가 있습니다. 현실에 존재한다는 것이 무슨 뜻일까요? 자연수, 유리수, 무리수, 실수도 물리적 객체가 없는 추상적인 개념일 뿐입니다.


온도로써 273.15K이 존재한다 라고 하더라도 깊게 들어가면 문제가 생깁니다. 에너지는 양자화되어 있으므로 에너지의 최소 단위가 존재하고, 사실 매끄럽게 보이는 온도나 에너지 변화도 사실 모두 양자화되어 있습니다. 최소 단위가 존재하는거죠. 길이도 플랑크 길이라는 최소 단위가 존재합니다. 플랑크 길이보다 짧은 길이는 물리적 실체가 없는거죠. 그럼 과연 10^(-100)이라는 숫자가 존재한다고 할 수 있을까요?


이런 관점에서 복소수는 실수와 크게 다를 바가 없습니다. 세상을 해석하기 위한 도구일 뿐이며, 수학자들이 만들어낸 개념입니다. 예전에는 제곱해서 2가 되는 수는 존재하지 않는다고 생각했죠.


독일의 수학자 레오폴트 크로네커의 말입니다.


"정수는 자비로우신 신이 창조하셨고, 나머지는 인간의 창작물이다. "



게다가 복소수가 현실의 자연현상을 설명하고 현실과 밀접하게 연결되어 있는 양자역학, 공학, 전기역학 등의 학문에 얼마나 깊게 관여하는지를 생가굽하면 복소수를 "상상의 수" 따위로 치부할 수 없습니다.


복소수는 실수체를 확장하여 하나의 '도구'로 작용하는데, 복소평면에서 여러 가지 연산을 매우 간단하고 편리하게 만든다든지, 실수에서의 실적분을 복소평면에서의 복소선적분으로 확장해서 오히려 더 쉽게 계산할 수 있게 하고, 진동과 파동의 해석, 삼각함수 연산 등 수많은 학문과 수많은 분야에 관여하고 있습니다.


그리고 애초에 수학이라는 학문의 특성상 실재성을 논하는 것 자체가 아무 의미가 없습니다. 루트(2)는 실재할까요? 현실에서 그 길이를 정확히 정할 수 있을까요? 소수점 아래 자릿수가 무한히 이어지는데, 이런 무한의 특성이 현실에서 존재할 수 있을까요? 실재성을 논하게 되면 앞서 설명한 것과 마찬가지로 무리수는 실존하는가? 유리수는 실존하는가? 등의 질문으로 이어지게 됩니다.



2. 허수단위 i의 정의는 루트(-1)이다. (X)


허수단위는 방정식 x^2 + 1 = 0의 "한 근"을 나타내는 기호입니다. 플러스 루트(-1)일 수도 있고 마이너스 루트(-1)일 수도 있지만, 어느 경우에도 완벽히 동일한 상황이므로 편의상 플러스 루트(-1)을 i로 쓰는겁니다.


참고로, 위 방정식의 근을 i, j, k라 하고 i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1이라 하는 사원수 체계도 존재합니다.



3. i + 4 > i이다. (X)


복소수가 들어간 순간 부등호는 쓸 수 없습니다. 양변에서 i를 빼면 되지 않느냐? 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 뺄 수 있다는 성질 자체가 실수에서만 성립하는 성질입니다. 복소수체가 순서체라고 가정하면 모순이 발생하므로 순서 공리가 성립하지 않으며, 복소수에 순서(즉, 대소비교)를 부여할 수 없습니다.


간단한 예시로 i > 0, i = 0, i < 0 어느 경우에도 양변에 i를 곱하면 모순이 발생합니다.



4. 7 + 6i의 허수부는 6i이다. (X)


허수부는 6i가 아니라 6입니다. 실수부와 허수부 모두 "실수"입니다.



5. 방정식 x²+1 = 0의 해로서 허수 i를 도입했으므로, 방정식 x²+i = 0의 해를 위해 새로운 수 체계를 도입해야 한다. (X)


모든 복소계수 다항방정식의 근은 복소수입니다. 오차 이상의 방정식은 일반적인 근의 공식이 존재하지 않지만, 그래도 근은 복소수입니다. (대수학의 기본 정리 - n차 복소계수 다항식은 중근을 포함하여 n개의 복소근을 가짐.)


따라서 x^2 + i = 0의 근은 복소수이며, 직접 구할 수도 있습니다.


참고 : 복소계수 이차방정식에서도 근의 공식은 성립하며, 판별식이 허수가 될 수 있으므로 D의 부호 판별은 무의미하지만 D = 0인 경우 중근을 가진다는 것은 여전히 성립함.



6. 0 × i = 0임은 자명하므로 교과서의 '0 × i = 0으로 정한다' 라는 서술은 없어도 무방하다. (X)


0과 어떤 숫자를 곱해도 0이 된다는건 실수에 한정된 이야기입니다. 교과서에서는 엄밀한 복소해석적 서술을 제시할 수 없기에 0으로 정한다 라는 서술이라도 해야합니다.







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