다음 극한 문제 좀 풀어주세요.

Question

테일러나 로피탈정리 이용하면 쉽게 나오는데

그 방법 이용하지 말고 풀수 있나요??


평균값정리로 하면 될까요??




고등학교 참고서에 있는 문제인데 요즘 고딩들은 테일러나 로피탈까지 배우나요? 

왜 이런 문제가 나오는지 참....;;;

내사랑씽씽 · Accepted Answer

1. 로그취하면 되지 않나요? e^n/n 이 n이 무쟈게 클때 무쟈게 커진다는 것은 로피탈을 안쓰고도 증명할 수 있으니깐..어느정도 고교과정인거 같네요

굉장히 테크닉적이지만..;

2. n>2 일때 2^(n-1)<2^n-1<2^n 이므로 (2^n-1)^(1/n)은 2로 수렴하네요..

따라서 답 2 아닌가요?ㅋㅋ

포카칩 · Answer

첫번째것은 수1만으로도 풀 수 있는데, 수열의 극한과 수학적 귀납법을 적절히 활용하면 증명할 수 있습니다.

(그냥 저혼자 엄밀하게 찌그린 증명이니까 이런것도 있구나 하고 넘어가시길..)

먼저, 모든 자연수 k에 대하여 k^2<10^k임을 수학적 귀납법으로 증명합니다.

증명을 한 뒤에, 양변에 로그를 취하면 log k^2 < k이 성립하구요. 양변을 k^2으로 나누어주면,

0<(log k^2)/k^2 < 1/k가 성립하게 됩니다.

극한값을 취하면, 샌드위치 정리에 의해 lim k -> ∞ (log k^2)/k^2 =0이 되고, k^2=n으로 치환하면, lim n -> ∞ (logn)/n =0이 됩니다.

따라서, lim n -> ∞ (logn)/n = lim n -> ∞ (logn^(1/n)) =0이므로, lim n -> ∞n^(1/n)=1이 됩니다.

Avril Lavigne · Answer

솔직히 고등학생들 로피탈은 밥먹듯이 사용하는애들 많은데 테일러는 들어보지도 못한 애들 99퍼 이상이에요...

저도 테일러는 들어만 봤음 고3임

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