평가원은 평균값 정리를 예고했다 (ft. 230608 논리적 풀이)
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+ 수정 사항이 있습니다. [2022학년도 수능 예비시행 12번]은 평균값 정리가 아닌 평균변화율 꼴을 잡은 상황에서 미분계수의 정의를 이용해야 논리적 풀이가 됨을 정정합니다. 관련 영상 링크도 본문 중 남겨두었습니다. 또한 관련하여 [2016학년도 9월 가형 30번]의 논리적 풀이의 일부도 남겨두었습니다.
2023학년도 수능 22번 문항입니다. (가)를 보고 무작정 점 (1, f(1))과 (x, f(x))를 잡아 x를 움직이며 f'(g(x))의 형태를 파악하려 시도하거나 혹은 '어 기울기 함수네!' 하고 그래프 개형을 잡아보려 시도했을 분들이 많았을 듯합니다.
x를 움직이며 하는 것은 솔직히 발상적이라 느끼고 (제가 직관이 부족한 탓일 수도 있습니다) 기울기 함수를 떠올리는 것은 아래의 2017학년도 수능 가형 30번을 학습한 분들이 편하게 떠올리셨을 것 같습니다.
제가 2021년에 시행된 사관학교 1차 시험을 응시했어서 그 기억을 갖고 오면 그때 사관 수학 30번도 주제가 기울기 함수였습니다.
물론 형태만 그러하고 (나) 조건 같은 거 생각해보면 직접 몫미분이 들어왔던 것으로 기억해 [1711가30]이나 [231122]와는 다른 맛일 수도 있겠습니다. (저도 현장에서 못 풀었어서,, 아마 88점이었던 것 같아요)
아무튼 작년 수능에는 수학2 킬러로 기울기 함수가 나왔습니다. 이때 기울기는 평균변화율과도 같으니 '평균변화율로 정의된 함수'라는 말을 써도 괜찮겠습니다. 이는 기울기 함수라는 이름보다 '~~로 정의된 함수' 형태의 표현을 사용했다는 점에서 제게 조금 더 익숙하게 느껴집니다. 마치 얼마 전 '푸른 하늘과 이상'님이 쓰신 글에 '정적분으로 정의된 함수'와도 같은 맥락의 표현이라 생각합니다.
그런데 사실 저는 [2023학년도 수능 22번]을 단순히 기울기 함수 혹은 평균변화율로 정의된 함수로만 바라보는 것은 부족하다고 생각합니다. 왜냐하면 기울기 함수 자체는 가형 혹은 미적분을 학습했던 분들에게만 익숙하지 나형 혹은 확률과통계를 학습했던 분들에게는 익숙하지 않을 것이기 때문입니다.
그래서 작년 6월, 9월 시험지를 보다가 [2023학년도 6월 8번] 문항을 찾을 수 있었습니다.
이 문제 직관적으로 쉽게 풀 수 있습니다. 저도 처음 보고 '음... 그럼 x=1에서 x=5까지 갈 때 최대한 f(x)가 적게 증가해야하는데 그럼 f'(x)=5가 계속 유지되어 직선으로 그래프가 나오는 상황이겠네!' 하고 풀었던 기억이 있습니다. 그런데 그러고 나서 '근데 이걸 뭐로 출제한 거지?'라는 의문에 대해서는 한동안 답을 내지 못했습니다.
평균값 정리는 다음을 의미합니다.
1. 닫힌 구간 [a, b]에서 함수 f가 연속 (continuous)
2. 열린 구간 (a, b)에서 함수 f가 미분 가능 (differentiable)
어떤 함수 f가 이를 만족할 때 다음이 성립합니다.
의미는 이러합니다. 점 (a, f(a))와 (b, f(b)) 사이의 함수 f의 평균변화율과 같은 값을 함수 f의 순간변화율로 지니게 하는 c값이 열린 구간 (a, b) 에 존재한다. 이는 식의 형태를 다음과 같이 바꾸어도 괜찮겠습니다.
자 이제 여기서 b=5, a=1을 대입해봅시다.
(가) 조건에서 f(1)=3을 주었으니 정리하면 이러할 것입니다.
이때 c는 1<c<5를 만족하는 어떤 상수값이니 (나) 조건에 의해 다음이 성립할 것입니다.
그리고 3+4f'(c)=f(5)이니 다음이 성립하여 f(5)의 최솟값은 23, 답은 23이 될 것입니다.
이번에는 아래의 평균값 정리 형태에서
b=x, a=1을 대입해봅시다.
식의 양변에 f(1)을 더해주면 다음과 같겠습니다.
익숙하지 않으신가요? 이때 c는 x에 무언가를 대입하면 c값도 결정되는.. 다시 말해 x에 대한 함수일 것입니다. f가 이미 쓰였으니 g라는 표현을 대신 써서 c가 x에 대한 함수임을 밝혀주면
2023학년도 수능 22번의 (가) 조건과 완전히 일치하는 상황을 맞이하게 됩니다. (가) 조건에 '모든 실수 x에 대하여'라는 말은 이 관계식이 항등식임을 알려주는 것이니 우리는 (가) 조건이 의미하는 바가 '평균값 정리'와 직접적인 연관이 있었음을 파악했어야합니다.
정리하면 우리는 아래의 평균값 정리 형태로부터
2023학년도 6월 8번과
2023학년도 수능 22번을
논리적으로 접근할 수 있었습니다. 다시 말해 [2023학년도 6월 8번]과 [2023학년도 수능 22번]은 평균값 정리라는 개념 아래에 본질적으로 같은 문제라고 이해할 수 있습니다.
물론 전자는 평균값 정리 적용하면 바로 답이 나와 3점이지만 후자는 평균값 정리를 만족하는 c가 x에 대한 함수임을 확인해 연속 조건을 활용하여 c가 변곡점의 x좌표, f(x)의 도함수의 대칭축을 기준으로 왼쪽에서 놀지 오른쪽에서 놀지를 확인하는 과정으로 이어져야 문항을 해결할 수 있어 4점에 킬러 포지션이라는 차이가 있긴 하지만 말입니다.
참고로 이는 [Essential Calculus Early Transcendentals: Metric Version 2nd edition International Edition by James Stewart] 공부하다 보면 CHAPTER 4 APPLICATIONS OF DIFFERENTIATION 공부하는 214페이지 EXAMPLE 5에서 완전히 같은 상황임을 확인할 수 있었습니다.
이 또한 평균값 정리를 적용하면 바로 해결할 수 있습니다.
그리고 우리는 보통 [f(b)-f(a)]/(b-a) 꼴로만, 그리고 기하적으로만 평균값 정리를 배우는데 [Essential Calculus Early Transcendentals: Metric Version 2nd edition International Edition by James Stewart]에는 애초에 다음과 같은 꼴로도 평균값 정리를 서술해두었더라고요.
표현을 조금만 바꾸면 더 [2023학년도 수능 22번]을 접근하기 쉬웠을 것입니다.
그럼 '수능 수학 공부하는 나보고 대학 미적분학도 공부하라는 뜻이냐?' 싶을 수 있겠습니다. 하지만 이는 대학 미적분학이라고 특별하게 다룬 내용이 아니라 그냥 평균값 정리를 공부하고 나서 식을 적당히 조작해보고 다르게 이해해보고 새로운 각도에서 바라보려 노력했다면 크게 어렵지 않게 터득할 수 있는 부분이라고 느꼈습니다. 양변에 뭐 더 하고 곱하고 하는 것은 사칙연산이니 사실 초등학교 수학만 잘 마쳤다면, 그리고 중학교 수학에서 미지수와 함수만 잘 받아들였다면 큰 어려움 없이 해볼 수 있는 작업이니까요, 충분히!
마지막 문항을 살펴보기 전 UR독존 님께서 작성해주신 글의 '적분의 평균값 정리'도 간단히 살펴봅시다.
원문 링크는 다음과 같습니다.
짧은 칼럼) 평균값 정리 +
우리가 살펴보았던 평균값 정리의 형태를 다음과 같이 생각해볼 수 있습니다.
이 형태도 기억해두시면 학습에 도움이 될 것으로 예상합니다.
링크 남겨둔 글 댓글에서의 UR독존 님의 'MVT(Mean Value Theorem, 평균값 정리)와 FTC(The Fundamental Theorem of Calculus, 미적분학의 기본정리)는 수능 수학2, 미적분에서 중요하다'라는 메시지를 남겨두며 마지막 문항을 살펴보겠습니다.
마지막으로 아래의 [2022학년도 수능 예비시행 12번]을 확인해봅시다.
+ 평균값 정리를 떠올리려 '평균변화율 꼴'을 잡는 과정이 의미있다 생각하여 풀이를 남겨둡니다.
하지만 이 문항은 평균값 정리가 아닌 미분계수의 정의를 적용해야 논리적인 풀이가 가능함을 밝힙니다, 아래 정정해두었습니다.
이거 대충 생각하면 적분될 함수의 그래프가 x>0에서 x축보다 위에 있거나 살짝만 닿아야 할 것 같습니다. 왜냐하면 어떻게 적분 구간을 잡아도 적분값이 0이 되려면 결국 함숫값도 음수일 때가 없어야할 것 같으니까요! 그렇게 해서 k 범위 결정 문제로 생각할 수도 있지만 이 또한 [2023학년도 6월 8번]과 마찬가지로 '그래서 왜 냈지?' 생각해보면 결국 평균값 정리입니다.
함수 f(x)를 다음과 같이 잡고, F(x)를 f(x)의 부정적분으로 생각해봅시다. 그럼
미적분의 기본 정리에 의해 주어진 적분은 아래와 같이 바뀝니다.
이제 우리는 양변을 b-a로 나누어
평균값 정리를 적용할 수 있겠습니다.
이때 a, b가 0<a<b를 만족하는 임의의 실수이므로 c 또한 0<a<c<b에 따라 임의의 양의 실수에 대응될 수 있음을 생각해보면
이를 만족하는 k값을 찾는 것과 문제 상황이 관련되어있을 것임을 논리적으로 보일 수 있겠습니다.
물론 이때 b->a 인 극한을 생각해 부등식에 등호를 집어넣어주어야 k>(어떤 값) 꼴이 아닌 k>=(어떤 값) 꼴이 되어 k의 최솟값을 구할 수 있겠습니다. (평균값 정리와 미분계수의 정의를 적용해 상황을 해결하는 문항이 평가원 기출 중에 또 있던 것 같은데... 숫자 3 들어가는 거! 혹시 기억하시는 분 있으시다면 댓글에 알려주시기 바랍니다.)
근데 이렇게 하고 보니 평균값 정리는 상황 파악 정도에만 도움이 되고
실질적인 답을 내는 데에는 미분계수의 정의와 함수의 극한에 대한 성질로 훨씬 깔끔하게 풀 수 있긴 하죠.
물론 저는 글 작성할 때 '이렇게 하면 깔끔하게 풀린다'보다 '이렇게 하면 현장에서 자연스러운 사고 과정을 거쳐 시간은 조금 걸려도 무조건 답을 맞출 수 있다'라는 태도를 갖고 작성하기 때문에 여전히 평균값 정리를 떠올리는 것은 문제 해결의 힌트를 얻을 만한, 핵심적인 사고과정이라는 생각이 듭니다.
+ 방금 말한 부분이 궤변일 수도 있겠다는 생각이 듭니다. 이 문항은 평균값 정리를 떠올린 상태에서 보면 이렇게 생각해보는 것이 자연스럽지만 실제 답을 내는 부분에 있어서는 상황 파악에 도움을 줄 뿐 이외의 아무런 답과 관련한 도움을 주지 않습니다. 정확한 설명은 평균값 정리에 의한 것이 아니며 미분계수의 정의에 의해, 양변에 lim를 취하는 과정에서 부등호에 등호가 들어가는 과정을 포함해야함을 밝힙니다, 아래 영상 참고해보시면 도움이 되겠습니다. (하이퍼링크 처리 해두었으니 굵은 글자 클릭하시면 이동 될 거예요)
이와 관련한 영상에 언급된 문제를 살펴봅시다.
2016학년도 9월 B형 30번입니다. (나) 조건을 다음과 같이 해석할 수 있습니다.
이때 x_1은 양수인 임의의 실수이므로 우리는 x>0에서 다음이 성립함을 논리적으로 보일 수 있습니다.
임의의 x>0인 실수 x에 대해 f'(x)가 -1 이상이라는 뜻입니다.
이상으로 [2022학년도 수능 예비시행 12번]은 평균값 정리가 아닌 미분계수의 정의로 접근하는 것이 올바른 풀이임을 정정합니다.
이렇게 보니 [1609B30]에서 등호를 넣어서 주었던 것을 [22예비12]에서는 등호를 넣지 않은 채로 주어 평균값 정리로는 직관적으로도 문제를 풀 수 없고 미분계수의 정의를 떠올려야만 했네요.. 우연의 일치일 수도 있지만 '문항이 진화했다'는 느낌을 받았습니다.
이처럼 평균값 정리를 적용하고 싶게 만들어 평균변화율 꼴을 만들어주는 문항에서는 미분계수의 정의, 함수의 극한에 관한 성질도 적용할 생각을 해보자는 생각을 추가로 얻을 수 있겠네요. 이는 위에 언급한 숫자 3 들어가는 평가원 기출 문항 찾으면 그때 추가해 글 수정해두겠습니다.
이렇게 몇 가지 문항을 살펴보며 우리는 평균값 정리를 적용해 논리적으로 해결할 수 있음을 확인했습니다. 그럼 '이제 평균값 정리로 문제 풀 수 있는 것은 알겠는데 그럼 현장에서 어떻게 평균값 정리를 떠올리냐?' 싶으실 수 있습니다. 우리는 다음 문장을 기억함으로써 평균값 정리를 떠올릴 수 있겠습니다.
원래 함수와 도함수 간의 정보를 이어주려면 평균값 정리가 도움을 줄 수 있다.
이상입니다. 오늘 하루도 파이팅하시기 바랍니다!
p.s. 마지막 문장에 '필요하다'나 '하면 된다' 식이 아닌 '도움을 줄 수 있다'라는 표현을 쓴 까닭은 결국 수학도 확률의 논리이기 때문입니다. 한완수에서도 사고과정 정리와 필연성 부여도 '이렇게 했을 때 유의미한 정보를 얻을 수 있다' 하는 순간들을 모아가는 것이지 '이럴 때는 이렇게 하면 된다'를 쌓아가는 것이 아님을 명시하고 있습니다. 따라서 여러분도 수능 수학을 공부할 때, 나아가 일상의 모든 순간에서 '이러하다'라고 단정짓는 화법보다는 '이러할 수도 있다'라는 확률을 고려한 화법을 쓰시면 어떨까 하는 생각도 드네요 ㅎㅎ 물론 '할 수도 있고 안할 수도 있다', '출마할 수도 있고 출마하지 않을 수도 있다'라는 논리로 궤변을 이어나가자는 것은 아니고...
+ 댓글에 '중국혐오' 님께서 제공해주신 정보를 추가합니다.
[2012학년도 수능 가형 18번]
ㄴ에서 사잇값 정리 (intermediate value theorem), ㄷ에서 평균값 정리 (mean value theorem) 를 적용해볼 수 있는 문항이었습니다.
[2014학년도 예비시행 B형 18번]
'부등식이 나오면 한 쪽으로 몰자'에 따라 f(x)-2x와 f(x)-3x로 함수를 바라본 후 주어진 f(1), f(2) 조건을 활용해 평균값 정리를 적용해볼 수 있는 문항이었습니다.
이 문항은 정확히 말하자면 '평균값 정리를 적용'한다기보다 '평균값 정리를 증명하는 과정을 적용'하는 것이 맞습니다. [Essential Calculus Early Transcendentals: Metric Version 2nd edition International Edition by James Stewart]에서는 'Fermat's theorem'이라는 이름으로 다음의 내용을 소개하고 있습니다.
'함수 f(x)가 x=c에서 극값을 갖고 미분가능하면, f'(c)=0을 만족한다.'
이는 롤의 정리 혹은 평균값 정리를 증명하는 데에 핵심적인 사고과정으로 들어오죠. Fermat's theorem의 증명은 적당한 함수 직관적으로 그려본 후 극값을 지니는 점을 (c, f(c))라 하여 평균변화율의 좌극한과 우극한을 평균변화율의 부호와 함수의 극한에 관한 성질을 적용하면 보일 수 있습니다. 이는 나중에 MVT (Mean Value Theorem, 평균값 정리) 증명 관련해 글 남길 일이 있으면 더 소개해보겠습니다.
나아가 우리는 다음 문장도 기억해두면 도움이 될 것입니다.
'함수 f(x)가 x=c에서 극값을 가지면, f'(c)=0이거나 f'(c)가 존재하지 않는다.'
이는 지난 3월 모의고사 22번의 상황과 같이 '미분계수가 0이거나 첨점임'을 의미하죠.
제가 첨점을 잘 이해하고 있다면 '평균변화율의 우극한과 좌극한이 각각 존재하나 크기만 갖고 부호는 달라 평균변화율의 극한은 존재하지 않는 점'일 것입니다.
[2015학년도 6월 B형 30번]
닫힌 구간 [2k-1, 2k] (k는 정수) 에서의 정보를 평균값 정리를 활용해 얻어볼 수 있던 문항입니다.
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본문에 추가해두었습니다, 엄청난 기억력이시네요 ㄷㄷ
[2016학년도 수능 B형 30번]은 아마 함수/상황 결정하는 맛이 비슷해서 떠오르셨다고 말씀해주신 것 같은데 평균값 정리 없이 문항을 해결할 수 있어 본문에는 추가하지 않았습니다. 혹시 제가 놓친 생각이 있다면 말씀해주시면 감사드리겠습니다!
일단 개추박고 나중에 이해해야지
평균값 정리를 이용하는 굉장히 복잡한 문제가 출제될 수 있겠네요
미적분이라는 분야 자체에서 평균값 정리가 중요하게 이용되는 만큼 (제가 아는 것에 한하더라도 정적분에서의 평균값 정리, 코시의 평균값 정리, 로피탈 정리 등을 유도할 때 사용했던 것 같아요) 수능 수학에서도 앞으로 중심적인 소재로 다루어질 확률이 크다고 생각합니다.
본문처럼 문항들 모아두고 보니 '직관적으로는 알겠는데.. 논리적으로 어떻게 설명하지?' 싶은 것들은 평균값 정리를 떠올리면 논리적으로 풀 수 있던 때가 많았네요 ㅋㅋㅋ 물론 수학을 정말 잘하는 수준에 오르면 직관이 곧 논리이고 논리가 곧 직관임을 파악해야한다고 공부했던 것 같긴 한데 저는 아직 그 정도는 아닌 듯해서 ㅜ
저도 논리적 분석을 차곡차곡 해서 직관이 곧 논리가 되는 수준이 되고싶어요
본문에서 덧붙임글 되게 공감 가요
사실 지금 수능은 대충 공부해도 1등급은 나오고 또 저처럼 약간의 운만 따라주면 100점도 나오는지라... 논리적 분석을 쌓아나가 직관이 곧 논리, 논리가 곧 직관이 되는 수준을 수험 생활 중에 달성한다면 그대로 수학 교육 전문가의 길로 나아가는 것도 좋다고 생각합니다. (물론 저도 학부생이라 진로에 대해서는 잘 모릅니다, 개인적인 생각일 뿐)
보물창고라는 표현 귀엽네요 ㅋㅋㅋㅋ 학습에 도움이 되었으면 좋겠습니다!
우와 책참님 글목록 완전 보물창고네요!
감사히 참고하겠습니다!
어떤 사람을 위한 글인가요??
자기 만족입니다, 떠오른 특정 소재를 갖고 기출 문항들을 되짚어보며 논리를 정리하는 데에 초점을 두었어요! '어떤 사람을 위한 글이냐'라는 질문에 대한 답을 만들어보자면..
'특정 소재를 갖고 기출 문항들을 되짚어보며 논리를 정리하'고 싶은 수험생
이라고 답할 수 있을 것 같습니다.
그렇군요. 제가 이런 질문을 한 이유는 수험생이 읽기에 어려울거같아서 였어용^____^ 내용이 아니고 수학기호 같은것들요
맞아요 알파벳 E를 y축 대칭(?) 한 것처럼 생긴 것은 'exists, 존재하다'라는 의미이고 s.t.는 such that의 약어로 '다음을 만족하는' 라는 의미를 지닙니다.
표현 바로 아래에 수학 기호로 단순하게 표현한 것의 의미를 풀어 써두었고 이전 글들에서 \exists와 s.t. 는 사용했던 적이 있어서 넘어갔는데 저 기호 자체에 어색할 대부분의 수험생 분들께 불친절한 글일 수 있겠다는 생각이 드네요, 죄송해요 (저 둥글둥글하게 생긴 e 같은 건 수학(하)에서 집합 공부할 때 배웠던 원소가 집합에 포함된다는 의미를 가지는 기호이니.. 패스)
아니요 죄송할필요는 전혀 없어용
그냥 열심히 쓰신 글인데 전달이 안되면 아쉬운거니까용^____^
이 글을 이해해볼 시도를 하려면 평균값 정리에 대한 이해와 평균값 정리와 관련된 기본적인 문항을 풀 수 있는 실력 정도는 있을 것이고, 본문에 exists와 such that 등을 포함한 형태의 뜻을 서술해두었으니 충분히 받아들일 수 있을 것이라 생각합니다! 뭐 이해 안되면 저한테 질문 남겨주시면 될테니요 ㅎㅎ 생각 공유해주셔서 감사합니다
^_____^ << 이거만 보고 비꼬는 건 줄 알았는데 약간 동숲 주민처럼 저 웃음 표시를 말버릇으로 쓰시는 분이엿군 .. 오해해서 미안합니다
조심해야겠어요
꼼꼼하게 잘 읽었습니다!
좋은 칼럼 감사합니다 ♡
수능 수학 학습에 도움이 되었다면 좋겠습니다!
근데 정말 평가원은 문제를 그냥 내지는 않는거같아요..
저도 그래서 처음에는 '매해마다 같은 사람이 문제 만드는 것도 아닐텐데 왜 기출 문항 분석을 하라 하는 걸까?' 생각했었는데 문제 공부하면 할수록 신기할 정도로 문항 간 접점이 많길래... 이게 이전 문항을 참고해 출제하는 것인지 아니면 교과서에 기반해 일정 평가 기준에 맞추어 출제하다보니 자연스레 비슷한 느낌을 내는 것인지는 몰라도 기출 분석이 수능 수학 실력 향상과 그에 따른 성적 향상에 직접적인 도움이 되리란 확신을 갖게 된 것 같습니다.
그래서 이 확신을 가진 후로는 처음보는 문제를 풀어낼 때, 특히 당해 6모/9모/수능 문항을 분석해볼 때는 항상 이전 기출 문항으로부터 아이디어를 떠올리거나 연관성을 서술하려는 습관이 든 것 같아요 ㅋㅋㅋㅋ
기출분석이라는 건 어디까지 해야 충분 한 것일까요..?
ㅠㅠ
어디까지 해야 충분하다 같은 기준은 없는 것 같고 그냥 수능 수학 공부를 놓을 때까지 내내 해야하는 것이라고 생각합니다. 예를 들어 내가 [2023학년도 수능 22번]을 논리적으로 풀 줄 알고 현장에서 처음 만났다고 가정했을 때 직관적으로도 풀 수 있는 상태가 되었다면 이 231122의 접근 아이디어와 비슷한 아이디어를 품은 문항이 있었는지, 있었다면 몇 개, 각각은 어떤 점에서 비슷한지를 나열해보거나... (그럼 이론 상 1994학년도부터 모든 문항들을 살펴보며 현제 출제 범위에 맞는 문항이면 한 번 쯤 고민해볼 필요가 있으니 1년 동안 수학만 공부하는 게 아니면 다 끝내긴 어렵겠죠) 만약 정말 수학에 시간을 갈아넣어서 이 과정을 마쳤다면 이제 이 아이디어들을 갖고 스스로 문제를 만들어보거나... (뭐 단순하게 수치나 함수 정도 바꾸는 수준으로 231122 변형 문제를 몇 개 만들어보거나 아예 아이디어 하나만 갖고 다른 아이디어와 결합해서 문항을 재구성, 재조합 해보는 것도 좋을테고요)
그렇게 하다 보면 수능 전까지 기출 분석을 이어나갈 수 있지 않을까 생각하고 그렇게 했을 때 수능 당일 아침 '나는 평가원 기출 문항 분석을 충분히 했다, 실수 하지 말고 안 보이면 넘어가자'라는 마음으로 시험지를 맞이할 자격을 갖출 수 있지 않을까 싶네요
물론 이건 제 공부 방식이 이렇다는 뜻이고 사람마다 말하는 것이 다르기에 '기출 문항 다 풀 줄 알고 제대로 설명할 줄 아는 정도'만 되면 객관적으로 충분하지 않을까 생각합니다!
저는 그래서 평가원 기출 문항 분석을 대충 1회독(?) 정도 하면 그때부터 얼른 n제와 실모 병행하며 분석 이어나가는 것이 이상적이라고 생각해요.
요즘 다시 기출 풀고 있는데 확실히 저도 이 점(평가원 문항들은 겹친다는 점)들을 느끼는 것같아여 아무래도 많이 데이터가 쌓이다 보니 겹친는게 아닐까 싶습니다!
그쵸? 저도 수능 처음 출제하러 들어가신 분이 기출 문항을 모두 공부할 것 같진 않네요 ㅋㅋㅋ
엄청 당연한건데 정작 시험 때 들어가면 전혀 생각 안 나는 이 친구
ㄹㅇㅋㅋ
ㄹㅇ 23사관 30번 평균값으로 잘 풀었는데
231122 평균값으로 풀어야지 했는데 모양새에 압도당해서 못풂 ㅠ
그쵸.. 모양새에 압도당하는 것도 정말 큰 변수예요
논술공부하며 평균값정리 단련시켜놔서 오히려 좋을수도..?
어느 정도 실력 쌓은 후로는 수리 논술 공부하는 게 수학 실력 향상에 큰 도움이 되죠! 멋지십니다
22번 먼가 기울기 함수 무지성으로 그리다가 못 풀었던..
저는 처음에 손도 못대다가 평균값 정리로 c=g(x) 확인하고 조금씩 건드려봤어요 기울기 함수 그래프 그리기로는 도저히 g(x)를 해석하지 못하겠더라고요,,,
좋은 글 감사합니다. 뭔가 킬러는 항상 막히고, 고딩 때는 평균값 정리를 이론적인 이해 수준에만 그치고 어떻게 적용하는 지 몰랐는데, 예시를 보면서 글을 따라가니 '킬러에도 적용할 수 있구나' 라는 확신을 얻었어요. 나중에 무서운 형태를 봤을 때 시도는 해볼 수 있도록 잘 기억해둬야 겠네요.
킬러는 처음 공부할 때 당연히 막힙니다. 저도 고등학교 2학년 때 자이스토리로 처음 평가원 기출 문항들을 접했는데 5페이지 풀며 답을 내거나 접근해본 문제가 세 문제 정도였던... 기억이 있네요.
사잇값 정리나 평균값 정리가 '아 이렇구나' 하고 넘어갔다가 문제 풀 때 떠올리거나 적용하기 어려운 주제라고 생각해요. 물론 제가 학습해온 방식이 편향되어 그렇게 느낄 수도 있지만 ㅋㅋㅋ 저는 그래서 뭔가 직관적으로 이럴 듯한데 잘 설명하지 못하겠는 상황이나 어떻게 해야할지 전혀 감을 못 잡겠는 문항에서 사잇값 정리, 평균값 정리를 떠올려보는 습관이 최근에 잡힌 것 같아요.
수정된 본문에 언급된 평균값 정리의 다양한 형태나 도함수에 초점을 맞춘 적분의 평균값 정리 등 다양한 형태와 적용할 수 있는 상황을 학습해두면 분명 큰 도움이 될 순간이 올 것이라 생각합니다! 파이팅입니다