수학 잔기술 3개
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안녕하세요? 지인선입니다.
오늘 칼럼 두 개 썼읍니다.
좋아요와 팔로우해주시면 더 써오겠습니다.
감사합니다.
1. 삼차함수 f(x)에 대한 추론 문제에서, f(x)가 기함수라는 조건이 주어졌다고 하자.
그럼 대충
로 쓸 수 있겠다.
근데 문제에서 f(x)의 극값에 관한 조건이 있다.
그런데 위의 형태에서 f(x)를 미분한 도함수 f'(x)는
이라서, 도함수 값이 0이 되게 하는 x의 값은
이고, 이 값을 f(x)에다가 대입을 하면... 어우 끔찍하다.
차라리 처음에 b를 쓰는 대신 -3ap^2을 써서 (단, p>0)
이렇게 쓰면 어떨까? 이 식을 미분하면
이므로, x=p와 x=-p에서 극대극소임을 쉽게 알 수 있고, x=p를 f(x)에 대입하면
라고 쉽게 식을 쓸 수 있고, 극값 정보를 쉽게 활용 가능하다.
2. 다음 적분이 있다고 하자.
이 값을 계산할 때,
으로 전개하여서,
이렇게 계산하지 말고,
이므로,
특히, 이런 trick은 정적분함수 넓이 공식 유도에 도움이 된다.
EX) 예를 들어, 최고차항의 계수가 a인 삼차함수 f(x)가
이라 할 때, y=f(x)와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구해보자.
여기에 절댓값을 씌워주면,
어디서 많이 본듯한 공식이 나온다.
3. 등차수열 an의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 Sn이라 할 때,
Sn을
이렇게 나타내는 것이 좋다. 크게 다음과 같은 2가지 이유가 있다.
1) 최고차항인 a는 공통부분으로서 묶어지는 경우가 많기 때문이다.
예를 들어,
이라는 조건이 주어지면,
이라는 식에서 a는 쉽게 사라지고, k=5임을 쉽게 얻을 수 있다.
2) k가 2보다 크지 아닌지, 자연수라면 홀수인지 짝수인지에 따라 Sn의 양상이 쉽게 결정되기 때문이다.
만약 k가 2이하라면, Sn은 쭉 증가하거나 쭉 감소한다.
만약 k가 짝수인 자연수라면, (즉, k=2m이라면)
Sn은 n=m에 대하여 대칭인 관계에 있고, n=m일 때 최대나 최소를 갖는다.
그리고, 합이 2m인 두 자연수 p, q에 대하여
이므로, 자연수 범위에서 대칭 구조를 갖는다. 또한,
이므로,
즉, am과 a{m+1}은 서로 부호가 반대인 관계에 있음을 알 수 있다.
만약 k가 홀수인 자연수라면, (즉, k=2m-1이라면)
Sn은 n=m-1/2에 대하여 대칭이고(자연수는 아니지만 편의상), n=m이거나 m-1일 때 최대 또는 최소이다.
그리고, 합이 2m-1인 두 자연수 p, q에 대하여
이므로, 자연수 범위에서 대칭성을 갖는다. 또한,
으로부터
임을 알 수 있다.
만약 k가 양수인데 자연수가 아니라면,
이도록 하는 서로 다른 두 자연수 p, q가 존재하지 않는다. (p+q=k이어야 하므로)
따라서, Sn은 어떠한 대칭성도 갖지 않으므로,
자연수 범위 n에서 Sn은 일대일함수이다.
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확통이도 체화했을때 이득인 부분일까용..? 1번2번은 미적하는 친구들이 주로 하는 걸 봐서요!! ㅜㅜ 수감각이 전혀없어서 혹시 쓰다가 실수하고 그럴까봐 쪼끔 무서워서리 ..~
굳이굳이임 말그대로 잔기술
공통에선 저렇게 계산 ㅈㄴ 더럽게 나오는 문제가 없어서 확통이면 굳이 저런걸 다 챙길 필요는 없긴함
와….
수능판 ㅈㄴ 고였네 ㅋㅋㄴ
개맛있노...
와…ㅋㅋ
여러분 저런능력을갖고싶으십니까? 그럼 우리병훈샘수업을들으십시오
병훈쌤이 강조하시는 내용ㅎㅎㅎ
ㅈ1ㄴ달다 ㅋㅋㅋ 이게 진정 고인물 ㄷ
인수분해된 다항함수 적분할 때 주로 부분적분법을 썼는데 저렇게 간단한 식 조작해서 테일러 전개 느낌나게 하는 거 좋네요! 감사합니다
ㄹㅇ 이건 ㅈㄴ 유용한거같음 ㅅㅅㅅ 왜 극한식보고 인수단위로 묶는거는 잘해놓고 적분할때 이런생각은 못했지 ㄹㅇ.. 배우지않곤 아무것도 쳐모르는나
이런 부분에서 재능 혹은 살면서 쌓아온 두뇌 훈련양의 차이가 보이는 것이 아닐지.. 싶네요
더 없나요 더 없나요 더 없나요ㅠㅠㅠ
맞죠 미지수 설정할때는 의미를 가지게 설정해야됨 ㅋㅋ
2번은 쉬우면서 개꿀인팁이네요
신
적분 진짜 생각도 못했는데 개쩌네 ㄷㄷ
4번 적분은 x축방향으로 -3 만큼 평행이동시켜서 푸는것도 좋아요.