칼럼1) 알아두면 쓸데있는 다항함수 적분공식 총정리
게시글 주소: https://orbi.kr/00061780620
오늘 서울대 조기발표할 수 있어서 묻힐까봐 살짝 걱정되긴 하지만 그래도 많은 관심 주시리라 믿습니다. 더 많은 분들이 볼 수 있게 좋아요 눌러주세요 !
전에 올렸던 게시물 댓글에 답변을 남기다가 다항함수 적분팁들을 모아서 올리면 많은 도움이 되겠다고 생각했습니다. 그래서 제 첫 번째 칼럼 주제는 다항함수 적분공식 총정리입니다. 이 공식들은 많은 경우에 계산을 훨씬 가볍게 해주고, 빠르게 점검할 수 있어서 검토용으로 쓰기에도 좋습니다.
사실 다항함수 적분 공식은 엄청나게 많습니다. 하지만 그걸 다 알 필요는 전혀 없습니다. 실전에서 쓸만한 공식 몇 가지만 체크하고 넘어가면 됩니다. 이미 아는 게 나왔다면 '아 맞아 이런게 있지~' 생각하며 복습차 확인해주시고, 처음 보는게 나온다면 '이런게 있구나 알아둬야겠네' 생각하며 읽어가시면 좋을 듯 합니다.
1. y=xn 꼴
초록 넓이 : 노란 넓이 = n : 1
(각 직선들은 축에 평행하게 그려져야 하고, 최고차항 계수가 1이 아니어도 성립합니다.)
모든 n차 다항함수에 대해서 성립하지만, 사실상 수능에서는 이차함수의 경우에만 유용합니다. 삼차부터는 저도 써본 적이 없어요.
일차함수 넓이 구할 때 적분하지 않잖아요? 비슷한 느낌으로 이 공식을 알면 이차함수의 경우에는 많은 경우에 적분을 할 필요가 없어요. 모든 이차함수는 곡면아래 넓이를 저런 식으로 도출해 낼 수 있기 때문이죠.
이차함수의 경우 위 상황에서 초록부분과 노란 부분의 넓이비는 2:1이며, 이를 다음과 같이 인식할 수도 있습니다.
표시한 전체 직사각형의 넓이 x 1/3 = 곡면 아래넓이
예를 들어보겠습니다.
위 경우에서 1에서 2까지 이차함수의 적분값을 구하는 상황입니다. 첫 번째로 할 일은
표시한 부분의 직사각형을 보며, 직사각형의 넓이가 2이기 때문에 곡면 아래 넓이는 1/3 배인 2/3임을 구하는 겁니다.
그래서 색칠한 빨간 부분의 넓이는 2/3이고, 적분값은 노란 영역의 넓이인 1까지 더해줘야 하므로 답은 5/3입니다.
이와 같이 접근하면, 이차함수 적분 문제에서 적분 구간이 축을 포함하는 상황은 전부 빠르게 처리할 수 있습니다. 최고차항 계수가 1이 아닐 때도 당연히 성립합니다. 다만, 이차함수의 적분 구간이 축을 포함하지 않는다면, 대체로 그냥 적분하시는게 더 빠를 겁니다.
한편, 다음과 같은 오해를 하여 삼차함수에서 이를 쓰려고 하시는 분들도 가끔 있습니다.
"이 경우엔 3:1 ?"
은 절대 아닙니다. y=xn 꼴에서만 사용할 수 있는데, 위 상황은 그런 꼴이 아니기 때문입니다.
그런데 y=x3꼴의 적분을 묻는 경우는 거의 없잖아요? 그래서 앞서 말했듯이 삼차 이상부터는 거의 쓸 일이 없습니다.
2. 이차함수
너무 유명한 공식이죠. 인지해야 할 점이 딱 두 개 있습니다.
1) 둘러싸인 넓이는 오직 x좌표 차이에만 관련이 있다!
:제가 이 칼럼 올린 뒤에 자작문제를 하나 올릴텐데요, 그 문제를 풀어보시면 이 말이 어떤 말인지 감이 오실겁니다.
2) 색칠한 넓이가 반띵이 되는 곳은 이차함수의 축이 아니라 알파와 베타의 중점 부분입니다. 당연한 내용인데, 가끔씩 실수가 나오기도 하므로 유의하세요.
한편, 공식은 아니지만 알아두면 정말 많이 쓰는 이차함수 넓이 관계가 두 가지 있습니다.
1) 위 경우처럼 길이비가 각각 2:1일 때 초록 부분과 파란 부분의 넓이가 같습니다. 이는 해당 적분 구간의 적분값이 0임을 의미하기도 합니다. (초록과 파란 부분의 넓이는 같은데 부호가 반대니까요.) 이는 삼차함수의 2:1 관계와 관련이 있습니다. (이 말은 이해가 안 되시면 그냥 넘어가셔도 좋아요.)
2) 위와 같이 초록색 적분구간이 이차함수의 축에서 시작할 때, 길이비가 그림처럼 1:루트3으로 만들어진다면 초록 부분과 파란 부분의 넓이가 같습니다. 이는 삼차함수의 1:루트3 관계와 관련이 있습니다.
두 경우 모두 이차함수의 최고차항 계수와 관계 없이 성립합니다. 그리고 이건 뇌피셜이지만, 요즘 기출을 보니 문제 내시는 분들도 이걸 생각한 채로 문제를 만드시는 것 같습니다. 꼭 알아둡시다 !
3. 삼차함수
두 가지가 있습니다. 첫 번째는 매우 유명한 상황이죠. 직선 대신 이차함수인 경우에도 똑같이 성립합니다. (삼차함수와 이차함수가 알파에서 한 번 만나고 베타에서 접하는 경우라면 말이죠.)
이와 연관지어 생각해볼 만한 관계가 있는데요,
위 그림처럼 X좌표 길이 비가 1:3이 될 때, 초록 부분 넓이와 파란 부분 넓이가 같습니다. 사차함수의 3:1 관계와 관련이 있습니다.
두 번째가 굉장히 유용한 공식인데 의외로 잘 알려지지 않았습니다. 변곡점을 지나는 직선과, 삼차함수로 둘러쌓인 한 쪽 넓이가 다음과 같습니다. 두 쪽은 거기에 2까지 곱해주면 되겠죠. 양쪽 부분이 넓이가 같을테니까요. 아래 링크에서 이를 활용한 문제를 보실 수 있습니다. https://orbi.kr/00061771805/%EB%88%88%ED%92%80%20%EC%88%982%20%EC%9E%90%EC%9E%91%EB%AC%B8%EC%A0%9C
4. 사차함수
역시 두 가지입니다. 솔직히 말해 이 두 공식은 요즘 평가원에선 보실 일이 없을거고(과거에는 나온 적이 있긴 합니다.) 사설이나 내신에 유용할 듯 하네요. 넣을까 말까 고민을 했으나 아는 사람은 다 안다는 공식이라 넣었습니다.
경험상 '둘 중에 뭐가 1/30이었지??!' 하면서 맨날 헷갈리는데, 공통접선 놈이 1/30이라고 확실히 알아둡시다.
제가 준비한 공식은 여기까지입니다. 소개드린 공식 외의 것들은 좀 과한 느낌이 있습니다.
한편 공식이 전부 '몇 분의 (b-a)의 몇 승' 느낌으로 생겼는데요, '몇 분의'에 해당하는 부분은 암기구요 '몇 승'은 쉽게 기억하실 수 있습니다. n차함수에 대해 n+1이 지수 자리로 가기 때문이죠.
이번 칼럼은 제가 쓸 칼럼 중에 비교적 가벼운 편에 속할 겁니다. 앞으로 재밌는 자작 문제, 인상적이고 도움되는 칼럼들을 많이 보여드릴테니 팔로우해서 새로운 글이 올라올 때마다 확인해보세요!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
. 0
-
얼버기 1
를 위해 자러감 ㅂㅂ
-
내 가슴 속은 갑갑해졌어
-
일단 머리는 까고싶은데
-
안녕하세요, 여러분의 꿈의 열쇠를 찾고 조여주는 사람들 [몽키스패너]입니다! *본...
-
어떤 기분일까 친구들끼리 장례를 치르는 일이 어째서 존재하는 걸까
-
얼탱
-
823227 이분보다 많은사람 못 봤는데
-
요즘 아픈사람들 많더라 수험생중ㅈ에
-
고2 노베때 공부 잘하는 애들 보면서 나도 노력하면 쟤네처럼 잘해질 수 있겠지?...
-
능지 이슈로 기각ㅋㅋ
-
족발먹고싶다 하 3
내일 먹을까 ㅇㅇ..
-
케바케긴 한데 여친이랑 남아서 하루종일 공부하고 여친한테 뭐 알려주고 샆어서 더...
-
덕코상납좀 2
빨리.
-
야식 ㅇㅈ 17
개섹시한 자태,,
-
미적 0
수학모고치면 미적 26번부터 막히고 27번부턴 거의 손도 못대는 미적바보입니다......
-
7.5만덕 급구 7
700만덕 되고 싶어요
-
1분 10개가 딱 적당해요
-
좀 맘에 안 듦 페스캐면 좀 더 간지나게 디자인해주던지… 방탄복 입혀놓고 페스캐요 하면 짜치는데
-
...
-
ㅇㅈ 6
다들 잘자요
-
난 지금 무엇을찾으려고 애를 쓰는 걸까난 지금 어디로쉬지 않고 흘러가는가난 내 삶의...
-
ㄹㅇㅋㅋ
-
오늘 발푠데 ㄹㅇ 큰일났거든요 수1내용 아무거나랑 자동차 엮어서 심화탐구 할만한...
-
들어왔으니 정환이나 보고 가
-
여장남자를 보고 설레면 이는 게이라고 할수 있을것인가?
-
이유없이 사랑받고싶어서 요구함
-
흑역사 올림
-
기숙다닐때 안대에 귀마개까지 다 하고서도 이름 한번 부르니까 바로 일어나는 사람이랑...
-
양치기 소년되면 진짜로 올려도 아무도 모름 ㄹㅇ
-
그렇다면기습인증 ㅎ히히
-
화학 서바 2회 4
난이도 어땠나요
-
다 설명이 안되는구나 나의 쓰레기같은 행동으로 상처받았을 너에게는 미안하다는...
-
너무 심해서 귀마개 안대 없으면 잠을못잤음.. 그래서 4주진단서 떼오고 나옴..
-
6~7시간 씩은 자는데도 공부한지 1~2시간 지나면 귀신 같이 졸려서 공부 효율...
-
화장을 마친 유골함은 정말 뜨겁다는 것도 그때 처음 알았어
-
나 끝까지히 아끼며 사랑할게에
-
나도 영어빈칸 한 15갠가 팔앗는데 유빈이 옛날자료 잘 뒤져보면 어딘가 있을지도?
-
밤에 먹는다..? 누구ㄹ..아니아니 뭐를? ><
-
ㅇㅈ 9
펑
-
딥슬립 ㅆㄱㄴ 님들도 쓰세요
-
자고 일어나면 2
다 괜찮아질거야
-
그날 부산 장례식장에서 너무 많은 일들이 있었고 너무 많은 생각이 오갔고 스스로...
-
지금시기에 정규 새로 들어가는건 좀 그런가요 쭉 현우진커리만탔는데…
-
1. 대충 예쁜 여성분이 나온 사진을 업로드한다 or 업로드 되어있는 게시물을...
-
일단 인간이 되어야 하는데 수능이 무슨 상관이고 대학이 다 무슨 상관이냐
-
영원한 건 없다 1
언젠간 가겠지 그 때까지 수고
-
고2입니다 국어 인강없이 문제만 풀면서 모고 1 유지해왔는데 스킬이 필요한 것...
-
심지어 1+1임 캬
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/dangi_animated/020.gif)
유익한 글은 선 7ㅐ추 후 감상이애용...![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/034.gif)
감사합니다마지막 공통접선 공식 올해 왠지 쓸일 있을 느낌
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/007.gif)
한동안 안 나와서 슬슬 나올때가 되긴 했죠본문 이차함수 부분에서 언급한 문제입니다!
https://orbi.kr/00061780743/%EC%88%982%20%EC%A0%81%EB%B6%84%20%EC%9E%90%EC%9E%91%EB%AC%B8%EC%A0%9C
기대 안하고 들어왔다가 생각보다 신박한게 많아서 개추 + 팔로 박고 스크랩 떠서 갑니다!
바로 스크랩
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/021.gif)
감사합니다 ㅎㅅㅎ![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/rabong/023.png)
잘 읽었습니다삼차함수 2번공식이 진짜 자주쓰이는데 생각보다 사람들이 잘모름ㅎ
그러게요 되게 유용한데 은근 안 알려짐
좋아요를 누를 이유가 있는 글..!
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi/037.png)
감사합니다. 앞으로도 좋은 글 많이 쓸게요 ㅎㅎ좋은 글 감사합니다 :)
삼차함수 변곡점 지나는 공식하고 그외 언급하지 않으신것들은 최고차항이 필요없나요?
최고차항은 전부 곱해줘야 합니다! 어차피 다 곱해줘야 해서 외워야 할 부분만 적은거였는데, 언급을 제대로 할 걸 그랬네요 ㅜ