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[파급 수학] 김익성T [945829] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2023-02-01 11:06:53
조회수 3,222

[파급 수학] 미적분 기출학습 가이드.

게시글 주소: https://orbi.kr/00061759952

안녕하세요? 파급효과 수학팀 김익성T입니다. 




오늘은, 지난 칼럼에 이어 미적분 과목의 기출문제를 보면서 기출학습에 대한 가이드를 제시해드리려 합니다.


2022학년도 대학수학능력시험 예비평가


 

구간별로 정의된 함수 f(x)가 제시되어 있고, 

결국 직선과 곡선의 위치 관계를 해석하는 문제입니다. 


a와 b의 값에 따른 함수 y=f(x)의 그래프의 개형을 파악하면서 



이 되도록 하는 상황을 찾아야 하는데, 

발문의 특성상 조건을 만족시키는 상황은 ‘정확히 하나’임을 알 수 있겠네요. 


그렇다면, 학습자는 함수 y=f(x)의 그래프의 개형을 

‘비교적 정확히’ 그리는 것이 문제풀이에 도움이 될 것입니다. 


x<=0인 부분에서는 이차함수의 그래프의 개형을 그리면 될 것이고, 

x>0인 부분에서는 함수 y=lnx/x의 그래프와 유사한 그래프의 개형을 그리면 되는데, 

여기서 0<b<1인 조건에 착안하여 함수 y=ln(x+b)/x (x>0)의 그래프의 개형을 '비교적 정확히'그려봅시다.


ln(x+b)/x (x>0)은 x>0인 범위에서 미분가능한 함수이므로 

도함수를 관찰하는 방법을 시도해볼 수 있습니다.



에서



의 대소 관계를 관찰하여 함수 y=ln(x+b)/x (x>0)의 그래프의 개형을 그릴 수 있을 텐데요. 


두 함수 



의 그래프는 점근선의 방정식으로 모두 x=-b를 갖지만 

위 두 함수의 그래프의 교점의 좌표 및 대소 관계는 

도구의 한계로 명확히 설명할 수 없는 것이 맞습니다. 


그렇다면, 미분이 아닌 다른 방법이 필요한데요. 



이라 하면, 함수 y=ln(x+b)/x (x>0)은 

원점과 점 (x, ln(x+b)) (x>0)을 지나는 직선의 기울기를 

함숫값으로 갖는 함수라 볼 수 있습니다.


즉, 함수 y=ln(x+b)/x (x>0)은 함수 y=ln(x+b) (x>0)에서 파생되는 함수라 볼 수 있고, 

좌표평면 위에서 원점과 점 (x, ln(x+b) (x>0)의 위치 관계를 관찰해야 함을 알 수 있겠습니다.


함수 y=ln(x+b) (x>0)의 그래프와 y축의 교점의 좌표는 (0, lnb)인데, 

0<b<1이므로 원점은 반드시 함수 y=ln(x+b) (x>0)의 그래프의 위쪽에 존재함을 알 수 있고, 

이와 괄호에서 주어진 조건을 토대로 함수 y=ln(x+b)/x (x>0)의 그래프의 개형이 

다음과 같이 그려짐을 예상할 수 있습니다. 



이 뒤로는, 다음과 같이 문제를 해결하면 되겠습니다. 


2024 기출의 파급효과 미적분 (상)


2024 기출의 파급효과 미적분 (상)


문제를 구성하는 함수의 그래프의 개형을 그릴 때, 

문제를 해결하기 위한 행위, 즉 소모적으로 문제를 풀어내는 것보다는 

한 문제에서 최대한 많은 것을 배우는 학습이 의미있지 않을까 생각합니다.  


2015 개정 수학 교육과정 - 교육부


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함수의 그래프의 개형을 그리는 대표적인 도구로 미분이 있지만, 

위와 같이 수능 간접출제영역인 ‘직선의 기울기’개념을 이용해서도 

함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있음을 학습한다면 

문제를 보는 눈이 더욱 키워지지 않을까 싶습니다.


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[파급 수학] 김익성T [945829]

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