합성함수문제는 왜 어려운가?
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기본함수 vs 합성함수
물어보는것은 아주 단순할정도로 똑같습니다.
f(4)를 구하시오.
f'(1)을구하시오.
적분하시오.
극대의 개수는?
극값의 개수는? 등등...
합성함수도 결국 함수입니다
하지만!
왜 이리도 어려운것일까요?
필자는 그에대한 이유를 다음과 같이 생각합니다.
(1) 도함수의 복잡함
( h(x) = f(g(x)), h=합성함수, f=겉함수, g=속함수 )
합성함수의 도함수는 f'(g(x))g'(x)이고
이는 세 개의 함수를 동시에 따져야하는 매우 복잡한 함수입니다
① f'(x) (겉함수의 도함수)
② g(x) (f'(g(x))에 들어있는 속함수)
③ g'(x) (속함수의 도함수)
(2) (1)에 의한 그래프를 그리기 어려운점
겉함수, 속함수가 다 주어진다 하더라도 그리기 힘든데
킬러문항의 경우 둘중 하나 이상은 완전히 주어지지 않는 추론문제가 대다수다보니
합성함수를 그리기도 매우 어렵고 상태를 판단하는것도 난해합니다
(아 물론, 합성함수를 직접 그릴 필요는 전혀 없습니다. 안그려도 다 풀리니 말이죠)
(3) 그래서 해법은?
두 가지 방법이 있다 생각합니다.
① 합성함수를 그리는 방법을 익혀서 다양한 상황에서도 자유자재로 그려서 보고 풀기
② 개형 판단하는방법을 배워서 합성함수가 어떤 상태인지 판단하여 문제 풀기
전자의 경우 여러분들도 잘 아시는 n축 이고
후자의 경우 아는사람 극소수만 쓴다는 증감소대 직관판정법 입니다.
서론이 길었네요
너무나도 유명한 19학년도 9월 평가원 가형 30번 문항입니다.
사용된 개념은 다음과 같습니다.
(1) 개구간에서 연속함수의 최대최소 = 극대극소
(2) 합성함수 방정식 (치환, 기본개념) (가, 다 조건 처리)
(3) 4차함수 특수개형 비율관계 (β계산시 사용)
(4) 합성함수 증감소대 직관판정 (나 조건처리)
(5) 극대, 극소 보존논리 (나 조건 처리시 보조정리)
(6) 4차 특수개형과 도함수와의 관계 (마무리 계산시 사용)
물론 쉽진 않습니다. 어려운문제라 생각합니다.
하지만 어려운 문제를 어렵게 풀어야만 할 이유는 없다 생각합니다.
숨어있는 개념을 깨우치고 체화하여 풀이를 간결하게 만드는 것이
기형적으로 변한 요즘 수능수학 공부의 지름길이라 생각합니다
궁금한점은 댓글 달아주시면 제가 아는범위에서 답변드리겠습니다.
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지구상의 모든 수학공부를 하는 사람들이
무작정 공식을 외우지 않고 개념과 원리를 기반으로 이해하여 다양한 성질들을 체화 하는 그날까지
항상 좋은 자료를 만들도록 노력하겠습니다.
-Math Strange-
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필요하신분 있으시면 끝까지 만들어볼게요
궁금한점은 댓글 달아주시면 아는범위에서 답변드릴께요 :)
'어려운 문제를 어렵게 풀어야만 할 이유는 없다', '숨어있는 개념을 깨우치고 체화하여 풀이를 간결하게 만드는 것이 기형적으로 변한 요즘 수능수학 공부의 지름길이라 생각'하신다는 말씀에 동의합니다. 저도 합성함수 문제를 참 어렵게 느끼던 학생이었는데 어느 순간 증가 감소를 조사하고 y=f(g(x))꼴에서 x가 진행됨에 따라 g(x)의 위치가 어떤 f(x)값을 출력하는지에 초점을 두는 느낌으로 공부하다보니 작년 수능 30번과 같은 유형에서 생각보다 적은 시간을 투자해 답을 골라내는 맛을 느꼈던 것 같아요! 항상 좋은 글 감사드립니다, 새해 복 많이 받으세요 선생님