수학 이해가 안가는데 설명좀 해 주실분….

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답지 봐도 모르겠습니다.. 그림으로 그려주시면 너무나 감사하겠습니다

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가군 동신한 나군 우석한 다군 상지한 · 1121739 · 22/11/01 15:32 · MS 2022

ㅇㄷ

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정 병 호 · 1149221 · 22/11/01 16:06 · MS 2022

말 그대로 f범위 저렇게 나누고 계산한게 저건데 어떻게 이해가 안되시는 걸까요?

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정 병 호 · 1149221 · 22/11/01 16:07 · MS 2022

예를 들어 f>0일 때 왜 2f'(x)가 되는지 모르겠다 이런거요?

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책참 · 1020565 · 22/11/01 18:59 · MS 2020

g(x)의 lim h->0+ 안의 식을 '미분계수의 정의'를 활용하기 위해 변형해보면 다음과 같습니다. (f(x)는 다항함수이므로 실수 전체의 집합에서 미분가능함을 전제로 합니다.)

[[ㅣf(x+h)ㅣ-ㅣf(x)ㅣ] / h + [ㅣf(x)ㅣ-ㅣf(x-h)ㅣ] / h]

f(x)>0이면 ㅣf(x)ㅣ= f(x), ㅣf(x+h)ㅣ= f(x+h), ㅣf(x-h)ㅣ= f(x-h) 이므로 [ㅣf(x+h)ㅣ-ㅣf(x)ㅣ] / h 은 [f(x+h)-f(x)]/h가 되어 f'(x)로 수렴하고 ㅣf(x)ㅣ-ㅣf(x-h)ㅣ] / h 도 [f(x)-f(x-h)]/h 가 되어 f'(x)로 수렴하기에 g(x)=f'(x)+f'(x)=2f'(x)가 됩니다.

f(x)<0이면 ㅣf(x)ㅣ= -f(x), ㅣf(x+h)ㅣ= -f(x+h), ㅣf(x-h)ㅣ= -f(x-h) 이므로 [ㅣf(x+h)ㅣ-ㅣf(x)ㅣ] / h 은 -[f(x+h)-f(x)]/h가 되어 -f'(x)로 수렴하고 ㅣf(x)ㅣ-ㅣf(x-h)ㅣ] / h 도 -[f(x)-f(x-h)]/h 가 되어 -f'(x)로 수렴하기에 g(x)=-f'(x)-f'(x)=-2f'(x)가 됩니다.

그런데 f(a)=0이면 a를 포함하는 어떤 열린구간에 대해 x>a에서 f(x)>0 이든 f(x)<0 이든 x0 이든 f(x)<0 이든 (총 4가지 경우) 0으로 수렴함을 알 수 있습니다. x=a를 기준으로 부호가 변하는 걸 바라보면 +에서 +이 되거나 -에서 -가 되면 미분가능한 함수가 극값을 갖는 꼴이기 때문에 롤의 정리와 같은 방식의 증명 과정을 통해 f'(a)=0임을 보일 수 있습니다. +에서 -가 되거나 -에서 +이 되면 한 쪽에서 f'(a)가 나올 때 다른 쪽에서 -f'(a)가 나오기에 f'(a)=/0이지만 -f'(a)+f'(a)=0이 되어 마찬가지로 0임을 보일 수 있습니다.

따라서 g(x)가 그림과 같이 나옴을 알 수 있습니다. 추가로 이는 220922를 공부하기 위한 변형문제인 듯하네요

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책참 · 1020565 · 22/11/01 19:00 · MS 2020

그림은 식을 따라 읽어보시면 쉽게 그려보실 수 있을 거예요. 결국 미분계수를 변형한 것 같은 꼴의 극한식들은 모두 미분계수 꼴을 잡을 수 있도록 식을 변형해 극한이 수렴하냐 발산하냐를 생각하는 게 본질이기 때문에 이외의 문제들도 모두 '어떻게 극한을 배분할까'에 초점을 맞춰 식 변형을 훈련하시면 좋을 것 같습니다

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