몬티홀 변형 해설. (오류가 있다면 알려주세요)
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<문제>
당신이 한 게임 쇼에 참여하여 세 문 가운데 하나를 고를 기회가 주어졌다고 생각해봐라. 한 문 뒤에는 자동차가 있으며, 다른 두 문 뒤에는 염소가 있다. 당신은 1번 문을 고르고, 문 뒤에 무엇이 있는지 모르는 사회자는 염소가 있는 3번 문을 연다. 그는 당신에게 "2번 문을 고르고 싶습니까?"라고 묻는다. 당신의 선택을 바꾸는 것은 이득이 되는가?
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내가 처음 고른거에 있을 확률 1/3,
다른 두 문 중 하나에 있을 확률 2/3 인데
다른 두 문 중 하나가 거짓인걸 밝혀짐으로써
바꿀 때 문에 있을 확률이 2/3 으로 바뀐다고
생각했는데 뭐가 잘못 됐을까요
사회자가 연 문에 차가 있을 경우는 게임끝이고
결국 사회자가 연 문에
차가 없을 경우만 보게 될테니까
사회자가 알고 연 경우랑 같지 않을까요??
사회자가 염소를 공개한건 순전히 우연이니까 각각의 문이 1/2로 동등한 확률을 가져야죠
우연이지만 확률에선 무조건으로 쳐야되는 거 아녀요?
왜냐면 바꿀지 안바꿀지는 이미 사회자가 연 문에
염소가 있다는 전제하에 할 수 있는 질문이니까
아니죠 애초에 내가 고른 문 뒤에 차가 있을 확률은 1/3임요 그냥 아무거나 택했으니…
근데 사회자는 내가 택한문이 아닌 문 중에서 반드시 염소가 있는 문을 열어준다는 가정이 있으니,
내가 바꾸었을때 염소를 얻는 경우는 내가 택한 문이 자동차가 있는문 뿐입니다. 그래서 2/3을 기대할 수 있어요.
하지만, 사회자가 문 넘어를 인지 못한다면?
내가 선택한 문이 아닌 임의의 문을 아무거나 열어줍니다.
그리고 염소가 공개 된다면? 이제 2지선다 문제로 바뀌는 거죠
따라서 1/2가 되어야죠.
근데 사회자는 내가 택한문이 아닌 문 중에서 반드시 염소가 있는 문을 열어준다는 가정이 있으니,
<< 이게 사회자가 몰라도 성립한다는 말이에요
왜냐면 사회자가 알아도 차가 있는 문을 연다면
저 질문 자체가 성립하지 않아서
질문을 했다는 건 무조건 사회자가 내가 택한 문이
아닌 문 중 염소가 있는 문을 열었다는 거니까요
염소를 공개한다는 보장이 있든 없든, 이미 염소를 공개한 상태라면, 같은 거 아닌가요?
2지선다 문제인거야 두 상황 모두 같은 거고.
저는 기출에 나왔던 베이즈 주의지문을 생각했습니다.
사회자가 문뒤를 인지하고 염소를 공개한다는건 유용한 정보입니다.
따라서 그 점을 고려할때 바꾸는게 유리합니다.
하지만, 사회자가 문뒤를 인지하지 못한다는건 믿음의 정도에 영향을 줄 수 없습니다..
그냥 2번문 3번문중 아무거나 연 상태니까요.
아무거나 열었지만 결국 염소를 열었잖아요. 그건 정보가 맞죠.
그 염소가 나온건 결국 문제가 이지선다로 바뀐거죠. 새로운 게임의 시작이라고 봐야하죠
몬티홀 응용 문제로 두 딸 수수께끼라는 것도 있습니다. 굉장히 재미있어요 ㅎㅎ
098 두 딸 수수께끼 (통합본)
https://youtu.be/lT-oftk0CPw
https://orbi.kr/00058662090 이 문제네용