\mathbb{雀} [1131545] · MS 2022 · 쪽지

2022-08-13 18:04:51
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2022 상반기 칼럼 정산

게시글 주소: https://orbi.kr/00057983289

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부정적분 200題.pdf

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정적분 100題.pdf

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정적분 100題 문제.pdf

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정적분 100題(해설 제외).pdf

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정적분 100題 해설.pdf

[미적분 교과]


수능 미적분 교과와 연계되는 내용으로, 시험 전에 읽어보면 도움이 될 수 있는 내용입니다. 미적분학 과목을 수강하는 대학생 분들에게도 도움이 될 것이라 믿습니다.



1. 삼각함수 위상자


삼각함수를 위상자로 해석하는 방법입니다. 위상자 하나로 삼각함수 각변환, 덧셈정리, 합-곱 공식, 곱-합 공식을 모두 설명/증명할 수 있습니다. 무지성으로 각변환을 외우지 않더라도 머릿속에 위상자 도표 하나만 있으면 됩니다. 혹시 헷갈릴 때를 대비해서 알아두면 좋습니다.


링크 : https://orbi.kr/00054974846/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98%20%EC%9C%84%EC%83%81%EC%9E%90(Phasor)%20%ED%99%9C%EC%9A%A9%ED%95%98%EA%B8%B0




2. 고차함수 정리


학교 후배가 만든 자료입니다. 흔히 아는 넓이 공식부터 시작해서 들어보지도 못한 길이관계까지 정리되어 있습니다. 그렇게 유용하지는 않을 수 있지만 여전히 알아두면 유리합니다.


링크 : https://orbi.kr/00055001748/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%EA%B3%A0%EC%B0%A8%ED%95%A8%EC%88%98%20%EC%A0%95%EB%A6%AC




3. 부정적분 200제


이론 파트와 문제 파트, 해설 파트로 나누어져 있습니다.


이론 파트에는 삼각함수 공식과 삼각함수 위상자의 개념, 치환적분법, 기본 적분 공식, 부분분수 분해 방법, 부분적분법, Reduction Formula의 내용이 있습니다.


문제 파트에는 200개의 부정적분 문제가 있으며, 170번까지는 비교적 쉬운 문제가, 171번부터 200번까지는 최고난이도 문제들이 실려있습니다. 앞부분에는 tan x의 적분과 같이 아주 쉬운 문제들도 제법 있으며, 뒤쪽으로 갈 수록 난이도가 높아집니다. 역삼각함수가 등장하는 문항은 문제 번호를 빨간색으로 표시하여 구분할 수 있게 했습니다.


내신 시험은 학교에 따라 다르겠지만 수능 시험에서는 적분 자체가 어려운 문항은 출제되지 않기에, 미적분 과목 수험생이신 분들은 기본 개념 확인용으로 100번 정도 까지만 푸셔도 무방합니다. 문제를 풀지 않더라도 나름 이론 정리가 잘 되어 있으므로 파일은 가지고 계시길 추천드립니다.


해설은 대부분의 경우 한 개의 모범답안만 제시되어 있으며, 문제에 따라서는 세 개의 답안이 있는 경우도 있습니다. 부정적분의 경우 답이 유일하지 않으므로 모범답안의 답과 다른 경우 울프럼 알파를 통해 확인하시면 됩니다.


* 부정적분 200제와 정적분 100제는 업로드 이후 자잘한 오타가 발견되어 파일이 수정되었습니다. 파일 미리보기는 아래 링크에서 확인하시되 파일은 이 글에 업로드된 파일로 다운로드하시는 것을 권장드립니다.


링크 : https://orbi.kr/00055050637/%5B%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%5D%20%EB%B6%80%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84%20200%EC%A0%9C%20(PDF)




4. 정적분 100제


부정적분 200제에 이은 정적분 100제로, 이론 파트에서 이상적분과 코시 주요값, Glasser's Master Theorem, 파인만 테크닉 등이 추가되었습니다. 문제 수가 적어진 만큼 아주 어려운 고난이도 문제로 이루어져 있으며, 복소적분을 사용하지 않고 풀 수 있는 문제 중 가장 어려운 정적분 문제들을 모아놓았다고 해도 과언이 아닙니다. 이 중 수능 시험에 출제될 수 있는 문제는 5개도 되지 않을 것으로 예상하며, 미적분학 과목을 공부하는 대학생 분들이나 적분 자체에 아름다움을 느끼시는 수학 덕후 분들에게 추천드립니다. MIT Integration Bee(MIT 적분 대회 - 기출 문제들도 일부 수록되어 있습니다.) 대비용으로 적합합니다.


이론 파트에서 추가된 부분은 고등학교 미적분 교과와 연관이 없습니다.


정적분 100제의 표지는 부정적분 200제와 동일하므로 문제 부분을 첨부합니다.


* 부정적분 200제와 정적분 100제는 업로드 이후 자잘한 오타가 발견되어 파일이 수정되었습니다. 파일 미리보기는 아래 링크에서 확인하시되 파일은 이 글에 업로드된 파일로 다운로드하시는 것을 권장드립니다.


링크 : https://orbi.kr/00057373007/%5BPDF%5D%20%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84%20100%EC%A0%9C




[교과 내용 심화]


주제별로 특정 교과 내용을 심화시켜 분석해 본 글로, 실제 시험에는 도움이 되지 않습니다. 흥미 위주로 읽으시면 됩니다.



1. 수열의 해석적 확장


정수의 부분집합을 정의역으로 가지는 함수인 수열을 실함수로 확장하는 아이디어에 대해서 써 보았습니다. 수열의 엄밀한 정의부터 시작해서(초항이 항상 a1일 필요는 없다는 것) 예시로 계승함수(팩토리얼 n!)를 감마함수로 확장하는 과정을 서술했습니다.


링크 : https://orbi.kr/00055045360/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%EC%88%98%EC%97%B4%EC%9D%98%20%ED%95%B4%EC%84%9D%EC%A0%81%20%ED%99%95%EC%9E%A5




2. 두 도형의 교점을 지나는 방정식


교과서에서 증명 없이 은근슬쩍 넘어가는 내용에 대한 심도 있는 분석입니다. 특히, 다음 질문에 대한 답을 정확히 모르시는 분이라면 이 칼럼을 통해 명확한 답을 얻을 수 있습니다.


"왜 두 원의 방정식의 이차항을 맞춘 상태에서 두 방정식을 빼면 두 원의 공통현의 방정식이 만들어지는가?"


링크 : https://orbi.kr/00055066670/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%EB%91%90%20%EB%8F%84%ED%98%95%EC%9D%98%20%EA%B5%90%EC%A0%90%EC%9D%84%20%EC%A7%80%EB%82%98%EB%8A%94%20%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D




3. 삼각형의 오심의 Cartesian 좌표


삼각형의 세 꼭짓점의 좌표를 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)로 놓고 오심(외심, 내심, 무게중심, 수심, 방심)의 좌표를 모두 구했습니다. 아래 사진은 외심의 좌표입니다.


링크 : https://orbi.kr/00055499006/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95%EC%9D%98%20%EC%98%A4%EC%8B%AC%EC%9D%98%20Cartesian%20%EC%A2%8C%ED%91%9C




4. 확률


확률의 기본적인 내용을 정리했습니다. 여기 있는 칼럼 중 가장 교육과정에 충실한, 내용도 별로 없는 칼럼입니다.


링크 : https://orbi.kr/00056618948/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%ED%99%95%EB%A5%A0




5. 이산확률분포


확률과 통계 교과서에서는 이산확률분포의 예시로 이항분포만 설명하기에, 이항분포를 포함하여 베르누이 분포, 초기하분포, 기하분포, 음이항분포, 푸아송분포를 정의하고 그로부터 확률질량함수, 기댓값, 분산을 구했습니다.


링크 : https://orbi.kr/00057550688/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%EC%9D%B4%EC%82%B0%ED%99%95%EB%A5%A0%EB%B6%84%ED%8F%AC




6. 연속확률분포


확률과 통계 교과서에서는 연속확률분포의 예시로 정규분포만 설명하기에, 정규분포를 포함하여 균등분포, 지수분포, 감마분포를 정의하고 그로부터 확률질량함수, 기댓값, 분산을 구했습니다. 또한 오비탈을 나타내는 파동함수의 절댓값의 제곱이 전자의 존재 확률을 나타내는 확률밀도함수임을 이용하여 수소 원자의 특정 영역에서 전자가 존재할 확률을 직접 구해보았습니다.


(이상적분을 포함한 깊은 미적분 지식이 요구됩니다.)


링크 : https://orbi.kr/00057555026/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%EC%97%B0%EC%86%8D%ED%99%95%EB%A5%A0%EB%B6%84%ED%8F%AC





[교과외]


교과내용을 완전히 벗어나는 내용을 소개하는 칼럼입니다. 내용 자체는 교육과정 내용은 아니지만 기본적인 고등수학 지식만 갖추고 있다면 충분히 이해할 수 있습니다. (1, 2번은 미적분 지식이 요구됩니다.)



1. e와 pi의 초월성


자연상수 e와 원주율 pi가 초월수임의 증명입니다. 별로 재미는 없어요.


링크 : https://orbi.kr/00055029750/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20e%EC%99%80%20%CF%80%EC%9D%98%20%EC%B4%88%EC%9B%94%EC%84%B1




2. 확장된 이항계수


일부 미적분학 내용을 포함하여 이항계수 nCk를 복소 이변수함수로 확장한 내용입니다.


링크 : https://orbi.kr/00055601498/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%ED%99%95%EC%9E%A5%EB%90%9C%20%EC%9D%B4%ED%95%AD%EA%B3%84%EC%88%98


확장된 이항계수를 이용하여 이항급수 두 개를 비교하면 다음 식이 성립함을 증명할 수 있습니다.




3. 수의 분할


이산수학에서 배우는 수의 분할의 기본적인 내용과 예제를 정리한 글입니다.


링크 : https://orbi.kr/00056342772/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%EC%88%98%EC%9D%98%20%EB%B6%84%ED%95%A0



수의 분할을 이용하면 다음과 같은 문제도 간단하게 풀 수 있습니다.




4. 집합의 분할


수의 분할과 마찬가지로 이산수학에서 배우는 집합의 분할의 기본적인 내용과 RG 함수의 정의를 설명했습니다.


링크 : https://orbi.kr/00056355492/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%EC%A7%91%ED%95%A9%EC%9D%98%20%EB%B6%84%ED%95%A0




5. 벡터 공간


선형대수학에서 행렬과 더불어 아주 중요한 개념으로 등장합니다. 2차원에서 크기와 방향이 있는 화살표를 벡터로 정의한 것과 달리, 선형대수학에서 벡터 10가지 공리를 만족시키는 벡터 공간의 원소로 정의되어, 이를테면 실수 2도 실수 집합과 보통의 덧셈/스칼라 곱셈에 대한 벡터라고 말할 수 있습니다. 4차원 벡터부터는 시각화가 불가능하므로 이와 같은 추상화가 필수입니다.


링크 : https://orbi.kr/00056792668/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%EB%B2%A1%ED%84%B0%20%EA%B3%B5%EA%B0%84(Vector%20Space)





[기타]




1. Glasser's Master Theorem


정적분과 관련된 아주 강력한 정리를 소개한 자료입니다. 정적분 100제의 이론 파트에 동일 내용이 수록되어 있으므로 따로 다운로드할 필요는 없습니다.


링크 : https://orbi.kr/00057230463/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20Glasser's%20Master%20Theorem%20(%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84)




2. 자료 조사 가이드


자료를 검색하고 논문을 인용하는 기본적인 방법을 경험에 의거하여 서술했습니다. 고등학생이든 대학생이든 많은 도움이 될 것이라 생각합니다. 특히 수식을 검색할 때 아주 유용한 Approach Zero라는 검색 엔진도 소개했습니다.


링크 : https://orbi.kr/00057360483/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%EC%9E%90%EB%A3%8C%20%EC%A1%B0%EC%82%AC%20%EA%B0%80%EC%9D%B4%EB%93%9C





** 모든 자료는 무료로 공개하는 만큼 공유해도 상관은 없으나 이메일이 적혀 있는 원본 파일 그대로 공유해주시기 바랍니다. 솔직히 정적분 100제같은건 만 원에 팔 생각도 했는데 귀찮아서 무료로 푼거에요.

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