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1. Smooth real valued function f:M->lR에 대해서 (여기서 M는 smooth mfd) 어떤 a,b가 lR에 있어서 a<b라고 하고 f^{-1}[a,b]가 compact 이면서 f의 critical point를 갖고있지 않다고 하자. 그러면 M^a = f^{-1}(-infinity,a]와 M^b = f^{-1}(-infinity,b]는 diffeomorphic하고, 나아가 M^a는 M^b의 deformation retract임.
아이디어는 M^b를 M^a로 쭉 밀고 내려가는 것인데, critical value를 f^{-1}[a,b]가 포함하지 않고 있다는 것을 이용해서 어떤 compactly supproted되는 vector field를 정의하고 거기로부터 나오는 global flow를 이용하는 것.
2. Smooth real valued function f:M->lR에 대해서 p가 non-degenerate critical point라고 하자. f(p) = c라 하고, 어떤 양수 e>0가 있어서 f^{-1}[c-e,c+e]가 compact 이고 f의 critical point로 p 딱 한 점만 갖는다고 하자. 그러면 e가 적당히 작은 수라면 M^{c+e} = f^{-1}(-infinity,c+e)는 M^{c-e} = f^{-1}(-infinity, c-e)에 어떤 n-cell을 붙인 것과 호모토피 타입이 같음.
여기서 n은 대수적인 방법으로 결정 할 수 있음. 아이디어는 f와 대부분 같지만 p의 작은 근방에서는 함숫값이 조금 작은 smooth function F를 정의를 하게 되면 (아무거나 잡는 것은 아님), (-infinity, c-e]의 inverse image가 F의 경우 f보다 더 크게 되는데, 여기서 p는 (-infinity, c-e]에 대해서 F의 inverse image에는 들어가지만 f의 inverse image에는 안들어가게 됨. 그러면 F의 inverse image가 extra로 갖고 있는 영역에서 어떤 n-cell하나를 잡으면, M^{c-e}에 extra 영역을 붙인 것 (다시 말해 F^{-1}(-infinity,c-e])과 M^{c-e}에 n-cell하나 붙인 것과 호모토피 타입이 같은 것을 알 수 있음. 또 F^{-1}(-infinity,c-e]가 M^{c+e}의 deformation retract이라는 것을 알 수 있는데, 이건 p 근방에서 F값이 f보다 작아서 위에 1을 쓸 수 있어서 그런 것.
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