[사고] 171130 기울기 함수
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(이 글에서 말하는 이야기는 기울기 함수를 이미 알고 있음을 전제하고 들어갑니다.)
논의 : 기울기 함수는 어려운 발상입니다. 그래서 우리는 종종 이러한 발상을 어떻게 하지 신기하기도 합니다. 저는 여기에 대해 고민해보았고 저의 입장에서는 납득할 만한 결론을 내놓은 것 같아서 저와 같이 이 결론의 공감하는 분들에게 전하기 위해 써보았습니다.(재밌게 봐주세요)
#171130의 발상 지점
첫 번째 식에서 저는 기울기 함수를 찾지 못했고 발상이 심하다고 생각했습니다. 그러다 고민 후 조금은 발상의 난이도를 낮추는 방법을 생각이 났습니다. 그 방식은 f(x) - g(x) = 0 , f(x) = g(x) 와 같이 방정식을 전체로 관찰. 따로 분리해서 관찰. 이 방식을 적용했습니다.
처음은 도함수의 부호 관찰로 시작합니다. 하지만 우리가 이 방정식을 풀 수는 없습니다. 아는 게 많지 않아요.
그렇지만 우리가 이 방정식의 해집합을 구해야 한다는 생각은 변하지 않을 것 같아요...
그래서 저는 여기서 계산을 편하게 하는 방법을 고민합니다.
#저만의 사고방식(?)
저는 기본적인 사고를 집합에 중심을 두고 합니다. (집합과 사고에서 나옵니다)
[일반적 설명] 첫 번째 식은 단순하게 방정식을 푼다는 생각이 들어요... 계산을 줄이는 획기적인 방법이 안보여요.
그래서 식을 조작해봅시다.
xg'(x) -ag'(x) - g(x) = 0을 보니 이번에는 계산이 더 복잡하고 더러워 보여요.
그래서 두 번째 식으로 바꿔봅니다. 뭔가 익숙합니다. 앞에서 본 식과 동일하다는 것을 알 수 있어요.
이 둘의 차이점은 하나는 항등식, 다른 하나는 방정식임을 알 수 있어요.
여기서 방정식이 성립한다면... 항등식과 같음을 알 수 있어요! 이를 말로 표현해봅시다.
"임의의 해를 k라 한다면 f(k)는 g'(k)와 같다!" 다시 한번 말로 바꾸면!
"f(k)는 x=k 에서의 g(x)의 기울기이다." -> 이러면 가장 우변이 일반 분수 식이 아니라 기울기로 보입니다.
이를 바탕으로 해석하면 "(a,0) , (k,g(k)) -> 평균 기울기이다." -> "접선의 기울기와 평균 기울기가 같다" -> 이하 생략...
확장 : f(x)의 식은 항등식 앞의 사고를 통해서 기울기가 함숫값인 독특한 함수인 '기울기 함수' 라고 볼 수 있다.
[집합과 사고]
#1. 처음의 방정식을 푸는 방법은 모든 방정식을 푸는 방법이라는 집합 중에서 가장 좋은 길인가?
우리는 기본적으로 나아가는 방법 중 이게 최선이기 때문에 나가는 방법 또는 어쩔 수 없이 나아가는 방법을 생각해야 된다.
#2. 그래서 우리는 가장 좋은 길을 생각을 시도해보자. 일반적인 루트인 계산을 간단하게 하기 위해 식을 조작하는
방식을 선택해서 두 번째 식에 도달하기 or 우리는 집합을 이용해 효율적인 루트를 추정해보자.
-> 집합을 이용한 사고 중 가장 기본적인 소거를 이용하자.
#KeyWord
1. h(x) = 0 or h1(x) = h2(x) 인 접근 방법 중에서 어떤 곳을 결정?
2. 다항 or 분수 어디로 결정?
첫 번째는 h(x) = 0 인 접근이 편리할까? 아니면 h1(x) = h2(x) 인 접근이 편리할까?
전자의 방식은 더 편한 방식을 전개하기 위한 재료가 충분하지 않아 보인다. 후자의 방식으로 간다.
두 번째는 다항 or 분수이지만 다항은 전자의 방식이 거의 항상 편리하기에 후자의 방식으로 접근
그래서 두 번째 식의 결론을 도출 할 수 있다. '기울기 = 평균 기울기 꼴'을 통해서 해집합이 접선의 기울기와 (a,0) , (k,(g(k))을 이용한 기울기가 같음을 알 수 있다. 여기서 접근이 막혀서 f(x)로 돌아가서 모양이 유사함을 통해서 접근하거나 또는 beta와 alpha를 넣음으로써 "이와 같은 조건이 어디있지?" 하면서 f(x)로 갈 수 있다. // 이하 생략...
!이런 글을 보면 어려울 수 도 있습니다. 그래서 저는 여러분들이 단순하게
과자를 먹듯이 보고 생각나면 보면서 익숙해지길 바랍니다. 감사합니다.
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기울기 함수를 안써도 더 빠르게 풀 수있는데 기울기 함수는 허상아닐까요
이문제안에서는
사실 저도 기울기 함수를 딱히 좋아하진 않습니다. 식으로 밀거나 또는 극대,극소 정의 그 자체를 이용하거나 하는 풀이를 더 선호합니다. 확장성도 적어서... 딱히 쓸 필요는 없습니다. 하지만 나중에 전자의 풀이가 보이지 않을 때 쓸 도구를 넓히는 것도 좋죠
그건 동의합니다 ㅎㅎ