이 두 같은식에서 값이 다르게 나오는 이유가 무엇인가요
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값이 다르게 나오는 이유가 무엇인가요
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어떻게 계산이 잘못됐나요?
세타분에 몇 이런식으로 근사해서 합쳤다 뗐다 하는 과정에서 문제가 생겨요 테일러급수의 3차항 이상이 다 날아가서
테일러 급수의 3차항이 어떻게 날아가나요?
테일러 급수의 3차항이 어떻게 날아가나요?
tanx=x+x^3/6•••••••
이런식으로 돼있는 함수라서 저렇게 계산하면 뒤에 x^3/6을 무시하는거에요
tanx=x+x^3/6•••••••인 줄은 어떻게 알 수 있나요?
찾아보면 나와요
아 x+x^3/6이 아니라 x+x^3/3이네요
저렇게 계산하면 왜 뒤에 부분을 무시하는 건가요? tan쎄타/쎄타=1 sin2쎄타/2쎄타=1이 둘은 서로 계산하면 안 되나요?
분모가 1차일때는 그렇게 해도 되는데 3차라서 그래요
분모가 3차이면 어떻게 달라지나요?
계산을해봐요
첫번째거는 근사가 갑자기 저렇게되면 이상한데요 답 2번째 아닌가요
답 두 번째 맞아요
첫번째거에서 둘째줄로 바로 넘어갈수가 없어요 그런 근사는 정의에 맞지 않죠
어떤 정의에 맞지 않나요?
근사라는 행위의 근거를 생각해보시면 뺄셈에서는 바로 적용이 안 되는 것을 확인할 수 있어요
조금 자세히 설명해주실 수 있나요?
그냥 수렴을 안해서 그래요
수렴을 왜 안 하나요?
tan세타/세타^2은 므한대라서요 뺄셈이든 덧셈이든 수렴안하면 쪼개면 안돼요
tan세타/세타는 1아닌가요?
아니에요. 리미트가 붙어 있는 독립적인 상황(곱셈)에서 극한값이 1인 것이지, 저런 상황에서 tan세타/세타를 1로 동치하면 안 됩니다. 극한에 대해 더 이해하실 필요가 있으실듯. 그전까지는 근사 안 쓰시는 게 좋을거같아요
뺄셈에서 이판사판막근사때려서
적당히 말씀드리면 0으로 가는 속도가 다릅니다 sin과 tan이
그 근거로 테일러 급수를 두거나, 본인이 제시하신 두번째 정식(정답)풀이를 두죠.
정식(정의 풀이)으로는 두번째 처럼 풀리니까 첫번째 풀이의 근사 방식이 틀린거죠.
sin과 tan 속도가 다르면 왼쪽 식에서 어떻게 영향을 주나요 tan쎄타/쎄타도 쎄타가 0으로 갈 때 1 아닌가요?
아 속도가 다르다는 얘기는 테일러 급수에 대한 얘기에 가깝습니다. 제가 댓글을 헷갈리게 달았네요. 찾아보시면 아실 텐데, 이 문제에서의 쟁점은 1-cos를 묶지 않은 것에 있습니다.
밑에 분 댓에 추가 설명을 드리자면, 수렴성 여부를 따지는 건, '근사를 쓰지 않은' 맨 처음 식에서 따지시는 겁니다. 이미 대충 근사 때려놓고 나중가서 수렴성 여부 따지면 이번 경우처럼 처음과 다른 식이 되어버립니다. 교육과정 내 '극한'의 처리법은 일단 수렴하는 부분으로 쪼개야 다음 단계로 넘어갈 수 있습니다.
테일러급수로 탄젠트가 tanx=x+x^3/3••••••• 인 건 이해했는데요 왜 3차항부터를 무시하게 되는지를 잘 모르겠어요 왜 그런 건가요?
그건 밑 분께서 말씀하신 0 개수 논리를 차용해서 설명 드릴 수 있겠습니다.
0으로 가는 인수(x->0 일때의 x나 세타 ->0 일떄의 sin, tan) 가 하나인 경우가 있고, 1-cos 처럼 1/2세타^2으로 인수가 '둘'인 경우 등등이 있다고 볼 수 있습니다.
이때, 세타 -> 0 일때 tan세타를 세타로 나눈 식의 극한은 1이라고 알고 계신 개념은,
tan 세타를 다항함수(테일러 급수)로 변환했을때,
세타->x->0일때로 치환하면
lim(x->0) { x+(1/3)x^3+ ........ }/x 의 수렴값을 구하는 것이 됩니다.
그런데 이때 분자식은 다항함수이고 사칙연산에 따라 "각 항이 0으로 수렴하므로"
lim(x->0) {x/x + (1/3)x^3/x + ....... } 이라고 표기할 수 있는데, 이때 수2 교과목에서 먼저 배웠던 다항함수의 극한에 대한 수렴성 개념에 의해, x/x => 1 빼고는 전부 0으로 수렴합니다.
이때를 0 개수 논리라고 칭하는 거죠.
보시다시피 첫째항은 0 한개만큼, 둘째항(3차항)은 0 3개만큼 0으로 수렴하니까요.
근사를 통해 tan이나 sin이 세타 1제곱 만큼의 속도로(개수로) 0으로 간다는 것과 같은 말입니다.
따라서 tan세타/세타 => 1 이라고 '테일러 급수를 통해' 이해할 수 있고, 다시 이것을 '근사'라는 개념으로 tan세타를 세타로 근사시킬 수 있다 라고 받아들이시면 됩니다. 조건절이에요.
이런 수렴 부분은 교과내에서, tan세타/세타, sin세타/세타, (1-cos세타)/(세타^2) 밖에 없습니다. 이 꼴로 잘 쪼개놓고(근사 조건을 만족시켜 놓고) 그 다음에 근사를 사용하셔야 해요. 그냥 막판 계산용으로라고만 생각하시는 게 제일 오개념 없고 안전하게 사용하는 방법입니다.
아 참고로 tan세타 / (세타^3) 의 극한식일 때도 똑같이 테일러 급수로 표현하면 맨 앞 항에 대해서
lim x->0 일때 {x/ (x^3) ...} 이고 0개수 논리로 분모가 더 빠르게 0으로 가므로 전체 극한식이 무한대로 갑니다.
테일러가 왜 나오지..
분모에 0의 갯수가 더 많으면 무한대로 가요
테일러고 뺄셈이고 이 부분을 왜 이렇게 설명하는지 전 이해가 안가네요..
tan세타/세타는 1로 가고 tan세타/세타^2은 무한대로 가요 수렴단위로 쪼개는 건 근사 쓸 수 있고 수렴 단위가 아니면 쓰면 안돼요
뉴런들으시면 현우진t가 수렴렴렴럄렴혐혐이라고 강조하는 걸 들으실 수 있을거에요
교육과정 내에서 충실하시길..
근사는 본인이 단 하나의 예외도 없이 완벽히 이해하고 있는 게 아니면 안쓰는게 차라리 낫습니다.
개념 제대로 안되어있으면 그냥 근사 안쓰는게좋음
근사 쓰지 마라
근사했을때 식이 세타-세타/세타^2 이딴식으로 나오면 식정리 먼저하고 근사