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설음돋는포부를실현시키겠다 [1126015] · MS 2022 · 쪽지

2022-03-09 14:43:38
조회수 5,193

물리1) 로렌츠 변환과 민코프스키 도표로 이해하는 상대론(2)

게시글 주소: https://orbi.kr/00055365998

<1편 : (15) 물리1) 로렌츠 변환과 민코프스키 도표로 이해하는 상대론(1) - 오르비 (orbi.kr) >


이번 시간에는 상대론에서 비상식적으로 보이는 현상들 : 시간지연/길이수축/동시성의 상대성을 다루겠습니다.


먼저 짚고 넘어갈 부분이 있습니다.

우리 교과서에서 '시간'은 '두 사건 사이 시간차'를 의미합니다.

하지만 '길이'는 '두 사건 사이 위치차'가 아닙니다.

흔히 말하는 길이를 재려면 두 사건이 아닌, 두 세계선을 들고 와야 합니다. 


1. 길이, 고유길이, 길이수축


(1) 길이, 고유길이, 길이수축의 정의


우선 길이를 알아보겠습니다.

물체의 길이란, "특정 시점에 물체의 양 끝의 위치 차이의 절댓값"을 의미합니다.


또한 고유길이는 물체의 양 끝에 대해 정지한 좌표계에서 측정한 물체의 길이를 의미하며, 그 값은 좌표계에서 측정할 수 있는 물체의 길이의 최대값이라 할 수 있습니다. (길이수축 때문)


마지막으로 길이수축은 물체에 대해 이동중인 좌표계에서 측정한 물체의 길이는 고유길이보다 짧음을 말합니다.


(꼭 한 물체의 길이를 잴 필요는 없겠죠? 두 물체 사이의 거리를 잴 수도 있잖아요.

그때는 물론 위 정의에서 "물체의 양 끝"을 "두 물체"로 교체하면 됩니다.

대신 두 물체 사이 거리가 시간에 대해 변하는 경우, 고유길이와 길이수축을 정의하기 어렵습니다.

길이수축은 고유길이를 전제로 하며, 고유길이는 두 측정 대상 모두에 대해 좌표계가 정지해야 측정할 수 있습니다.

그런데 두 물체 사이 거리가 시간에 대해 변하는 경우, 그러한 좌표계는 존재하지 않기 때문입니다.)


(2) 민코프스키 도표에서 확인하는 길이와 고유길이, 길이수축


앞서 살펴본 길의의 정의 : "특정 시점에 물체의 양 끝의 위치 차이의 절댓값"은 고전적으로도, 상대론적으로도 성립하는 정의입니다.

다만 상대론적 관점에선 좌표계가 바뀌면 측정할 사건 또한 바꿔야 합니다.

고전적 관점에선 어느 좌표계에서 동시에 발생한 사건은 다른 좌표계에서도 동시에 발생하지만,

상대론적 관점에선 동시성이 깨지므로 둘 사이의 위치 차이를 재면 길이와 관련 없는 값이 나오기 때문이죠.


그래프를 그려 설명하겠습니다.


고전적 관점에선 좌표계를 바꿔도 그대로 사건 A, B 사이의 위치 차를 계산하면 됩니다.


하지만 상대론적 관점에선 좌표계를 바꾼 후엔 A, B 대신 A, C나 B, D의 위치 차를 계산해야 합니다.

여기서 첫번째 좌표계는 물체에 대해 정지해 있으므로, 첫번째 좌표계에서 측정한 A, B 사이 공간상 거리는 물체의 고유길이입니다. 



그리고 지난 시간에 ((15) 물리1) 로렌츠 변환과 민코프스키 도표로 이해하는 상대론(1) - 오르비 (orbi.kr) ) 접근한 방식대로 쌍곡선을 이용해 길이를 측정하면 길이수축을 확인할 수 있습니다.


(3) 로렌츠 변환으로 유도하는 길이수축


위 그림을 수식적으로 접근해 볼까요?

사건 A, B 사이 위치상 거리를 Δx, Δx'으로 두고 계산하겠습니다.



로렌츠 상수 γ는 1보다 큰 값이므로, 길이 수축이 아니라 길이 팽창이 일어난 것 아닌가요?

아닙니다. 두 좌표계에서 모두 사건 A, B 사이 거리를 쟀기 때문에 위치상 거리가 늘어난 것처럼 보이는 것입니다.

이렇게 하면 두번째 좌표계에서는 "현재 자동차 뒤쪽의 위치와 1초뒤 자동차 앞쪽의 위치차"를 잰 셈이 되니, 물체의 길이라 할 수 없죠.



길이 수축을 확인하려면 한 좌표계에서는 사건 A, B 사이 위치상 거리를 재고 다른 좌표계에서는 사건 A, C 사이 위치상 거리를 재야 합니다. 편의상 A-C 사이 간격은 첨자 2, A-B 사이 간격은 첨자 1로 두겠습니다.


A, C는 두번째 좌표계에서 시간차가 0입니다.



그런데 첫번째 좌표계에서 물체는 좌표계에 대해 정지상태이므로 A, C의 위치차는 A, B의 위치차와 같습니다.



그리고 β와 γ는 다음과 같은 관계가 성립합니다.

세 사실을 연립하면 길이 수축을 확인할 수 있습니다.


*로렌츠 변환은 원점이 같은 두 좌표계를 대상으로 성립합니다. 원점이 다른 경우 평행이동을 해줘야 합니다.

하지만 변화량(두 사건 사이 시간적/공간적 거리)을 계산할 때는 원점이 달라도 괜찮습니다.


유도과정에서 알 수 있듯, 길이수축 공식에는 고유길이만 사용할 수 있습니다.


즉, 물체에 대해 이동하는 두 좌표계 간 길이 변환을 하려면 다음과 같이 바꿔야 합니다.


(단, 좌표계 1, 2의 로렌츠 상수는 좌표계 1, 2와 물체에 대해 정지한 좌표계를 이용하여 구합니다.)


고유길이로 바꾼 후 다시 길이수축 공식을 사용하라는 뜻이지요.

상대론적 상대속도 써서 구한 좌표계1과 좌표계2 사이 로렌츠 상수를 대입하면 안 됩니다.



2. 시간, 시간지연


(1) 시간, 시간지연의 정의


여기서 말하는 시간은 정확히는 사건과 사건 사이 시간차를 의미합니다.

즉, 사건이 두 개가 있어야 하며, 특정 사건의 ct값과는 관련이 없습니다.

뭐 원점이 같은 두 좌표계에서 원점인 사건을 그중 한 사건으로 잡으면 특정 사건의 ct값만 읽어도 되겠지만요.


아무튼 시간은 길이와 달리, 두 사건 사이 시간차, 즉 시간상 거리를 그대로 읽으면 됩니다.

고전적 관점에서는 어느 좌표계든 그 값이 동일하겠지만 상대론적 관점에선 달라질 수 있겠죠!


고유시간은 두 사건의 발생 위치가 동일한 것으로 보이는 좌표계에서 측정한 시간을 의미합니다.


시간지연은 움직이는 물체의 시간(움직이는 우주선 속 시계의 시간)은 느리게 간다, 혹은 두 사건의 시간차는 고유시간보다 크거나 같다.라는 뜻입니다.

(둘은 같은 말입니다. 광자시계의 광자가 시계의 특정 지점에서 방출되는 두 사건을 생각해보세요. ) 


여기서 질문!

모든 두 사건에 대해 고유시간을 정의할 수 있을까요?

다시 말해, 모든 두 사건에 대해 두 사건의 위치가 같은 좌표계를 설정할 수 있을까요? 

아닙니다.

고유시간이 없는 두 사건도 있습니다.

로렌츠 변환을 생각해보죠.

두 사건에 대해 고유시간을 정의할 수 있다면 


인 다른 좌표계가 존재해야 합니다.

그런데 빛이 지나가면서 일으킨 사건은 Δx = +-Δct이므로 β=+-1이어야 하는데... -1<β<1이므로 좌표계가 존재하지 않습니다. ㅎㅎ;


잠시 생각해보면 임의의 두 사건은 다음 케이스 중 하나입니다. 

(지난 시간에 다뤘듯 아래 식은 로렌츠 불변성이라 불리며, 좌표계를 변환하더라도 값이 유지됩니다.)

1) Δct^2 - Δx^2 > 0 : 고유길이 정의 불가능, 고유시간 정의 가능

2) Δct^2 - Δx^2 < 0 : 고유길이 정의 가능, 고유시간 정의 불가능

3) Δct^2 - Δx^2 = 0 : 빛의 궤적의 일부 : 고유길이 정의 불가능, 고유시간 정의 불가능.


(여기서 말하는 고유길이는 위처럼 물체와 물체 사이 거리를 의미하는게 아닙니다. 고유시간의 정의 그대로 따와서 동일 시점에 두 사건이 발생했을 때 두 사건의 공간적 거리를 의미합니다. 교과서에서 말하는 고유길이와 정의가 다른 것 같은데, 왜 그런지는 아직 잘 모르겠습니다.)



(2) 민코프스키 도표에서 알아보는 시간지연


우선 한 좌표계에서는 같은 위치에서 발생한 두 사건을 살펴보죠. (쌍곡선 이용해서 시간 옮기는 법은 마찬가지로 지난난 글 참고 ㄱㄱ) 



이번엔 두 좌표계 모두 다른 위치에서 발생한 두 사건을 살펴보죠. 시간지연은 고유시간을 기준으로 발생함을 확인할 수 있습니다.



고유시간을 정의할 수 없는 두 사건은 어떻게 되는지 확인해볼까요?

어느 좌표계에서 측정하면 동시에 발생하는 사건이 다른 좌표계에선 동시에 발생하지 않는 경우까지 생기네요.. ;;


(3) 로렌츠 변환으로 유도하는 시간지연


매우 간단합니다.

사건 A, B가 1번 좌표계 (x와 ct로 표현되는 좌표계)에서 같은 위치에서 일어났다고 가정하겠습니다. (즉, Δx = 0)

로렌츠 변환을 적용하면


이므로 시간지연을 확인할 수 있습니다.


여기서 확인할 수 있듯, 시간지연 공식은 고유시간이 존재하는 두 사건 사이에서만 쓸 수 있습니다.



3. 동시성의 상대성


동시성의 상대성은, 좌표계에 따라 사건의 선후관계가 바뀔 수 있음을 의미합니다..

이런 상식적인 얘기는 너무 쉽지 않나요? 아무런 영감도 주지 않습니다.


근데요, 어떤 두 사건은 선후 관계가 바뀔 수도 있고요, 어떤 두 사건은 아무리 좌표계를 바꿔도 선후관계가 바뀌지 않을 것 같은데요..?? 한번쯤은 그런 생각 해보셨을 거에요.


예를 들어 적당히 빨리 우주선을 타고 태양계를 떠나다 보면 지구에서 태양으로 빛이 들어가는 것처럼 보일까요?

혹은, 죽었던 사람이 깨어나서 점점 젊어지더니 갓난애기가 되는 모습을 볼 수 있을까요? 

그렇지 않습니다. 이런 인과율 위반, 즉 원인과 결과가 뒤바뀌는 관측은 이뤄지지 않습니다.


고유시간을 정의할 수 있는지를 논의할 때 쓴 식을 다시 확인해보죠.

1) Δct^2 - Δx^2 > 0 : 고유길이 정의 불가능, 고유시간 정의 가능

2) Δct^2 - Δx^2 < 0 : 고유길이 정의 가능, 고유시간 정의 불가능

3) Δct^2 - Δx^2 = 0 : 빛의 궤적의 일부 : 고유길이 정의 불가능, 고유시간 정의 불가능


사실은 이렇습니다.

1. 1)에 속하는 두 사건은 어떤 좌표계에서도 동시에 발생하지 않았으며, 좌표계를 바꿔도 선후관계가 달라지지 않습니다.

2. 2)에 속하는 두 사건은 좌표계 변환에 따라 동시에 발생하는 좌표계도, 선후관계가 바뀐 좌표계도 존재할 수 있습니다.

3. 3)에 속하는 두 사건은 동시에 발생했을 수는 있으나 어쨌든 좌표계에 무관하게 선후관계는 바뀌지 않습니다.


(특정 좌표계에서) 동시에 발생한 두 사건은 2)나 3)에 속합니다.

그리고 3)에 속하면서 동시에 발생한 사건은 동일한 위치에서 발생하였으며, 좌표계를 바꿔도 언제나 "동일 위치에서 동시에" 발생하게 됩니다. (사실상 같은 사건인거죠.)


이는 다음과 같이 이해해볼 수 있습니다.

1. 정보가 빛의 속도 이하로 전달됨을 생각해보면, 원인과 결과인 두 사건의 위치 간격은 시간 간격*c 이하여야 할 것입니다.

2. 따라서 위치간격이 시간간격*c보다 큰 두 사건은 원인과 결과 관계일 수 없습니다.

3. 그러므로 2)에 속하는 두 사건은 선후관계가 바뀌어도 인과율을 위반하지 않는 것입니다.


위 사실의 증명)

case 1) |Δct| > |Δx| 

WLOG, Δct > 0. => Δct > Δx

then, Δct' = γ(Δct - βΔx) > 0 (because, -1<β<1)


case 2) |Δct| < |Δx|

WLOG, Δct >= 0.

then , Δct' = γ(Δct - βΔx) : -1<β<1에서 β를 잘 조절하면 부호를 자유롭게 조정할 수 있다.  


case 3) |Δct| = |Δx|

WLOG, Δct >= 0.

then, Δct' = γ(Δct - βΔx) : -1<β<1에서 아무리 β를 조절해도 Δct가 Δct'의 부호를 결정합니다.




*어젯밤 음주 상태로 작성하기도 했고, 공부하며 혼자 깨달은 내용을 정리한 거라 틀린 부분이 있을 수 있습니다. 알려주시면 감사하겠습니다. 

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