물리1) 로렌츠 변환과 민코프스키 도표로 이해하는 상대론(1)

*주의 : 인강 듣기 전에 인터넷 보면서 복습해본거라 틀린 부분이 있을 수 있습니다. 지적해주시면 감사하겠습니다.*

1. 로렌츠 변환

사건의 좌표는 관찰자에 따라 다르게 나타납니다.

뉴턴 역학에서도 움직이는 관찰자와 정지한 관찰자가 보는 세상은 다르죠.

그래서 관찰자를 바꿀 때 좌표계 변환을 해줘야 하며, 뉴턴 역학에선 갈릴레이 변환을, 상대성 이론에선 로렌츠 변환을 사용합니다.

위 식이 로렌츠 변환입니다.

예를 들어 관측자 A가 우주 공간에 2022년 3월 1일에 가만히 서 있는 사건을 사건 X라 해보겠습니다.

이 사건을 원점으로 하는, 그리고 그때의 관측자 A에 대해 정지한 좌표계를 좌표계1,

이 사건을 원점으로 하는, 그리고 그때의 관측자 A에 대해 +0.6c로 이동하는 좌표계를 좌표계2라 부르죠.

좌표계1의 관점에선 (x, ct), 좌표계2의 관점에선 (x', ct')으로 표현하겠습니다. (c : 광속, x와 x'은 위치, t와 t'은 시간을 나타냄)

사건 X는 원점이므로 x = 0, ct = 0, x' = 0, ct' = 0입니다.

어떤 사건의 좌표가 좌표계1에서는 (x,ct), 좌표계 2에서는 (x', ct')이라면, 두 좌표 사이의 관계는 어떻게 될까요?

로렌츠 변환을 걸어보면 다음과 같은 관계가 있음을 알 수 있습니다.

(계산해보면 감마가 5/4, 베타가 +0.6이죠)

x'에서 x로 다시 되돌릴 수도 있습니다. β가 -0.6으로 바뀌는 점을 주의하셔야합니다. (상대속도의 기준이 바뀌니까 부호도 바뀌죠) .

2. 민코프스키 도표 - 개념

보시다시피 로렌츠 변환은 간단하지 않습니다. 이를 시각화하는 방법이 민코프스키 도표입니다.

즉, 민코프스키 도표를 이용하여 한 사건을 여러 좌표계의 성분 표현으로 옮길 수 있습니다.

위 도표는 이차원 시공간(위치 1차원 + 시간 1차원)의 두 관성좌표계를 한 평면 위에 나타낸 것입니다.

(y축이 시간 t가 아닌 거리 ct인 이유는, 여러모로 편하기 때문입니다. 이를테면 빛은 기울기가 1인 세계선을 그리며 도표 위에 나타나죠.)

편의상 위 그림의 검은색 좌표계를 좌표계1, 파란색 좌표계를 좌표계2라 부르겠습니다.

좌표계2의 위치축인 x'축의 직선의 방정식을 좌표계1에 대해 나타내면 다음과 같습니다.

β는 (좌표계1에 대한 좌표계2의 속도)/c입니다.

시간축은 위치와 시간을 바꿔주면 됩니다.

이렇게 두면 사건 A는 좌표계 1로도, 좌표계 2로도 읽을 수 있습니다.

3. 민코프스키 도표 - 실습

예를 들어보겠습니다.

좌표계1, 좌표계2는 <1. 로렌츠 변환>에서 사용한 좌표계입니다. 

사건 Y를 (x=4, ct = 0)인 동시에 (x'=5, ct'=-3)인 사건이라 두고 민코프스키 도표 위에 올려보겠습니다.

(로렌츠 변환 걸어보면 타당함을 확인할 수 있습니다.)

그런데 (x', ct') = (5, -3)처럼 보이시나요..? 

길이비는 5 : 3 같아도 길이가 5는 아닌 것 같지 않나요?

두 좌표계는 다른 좌표계이며, 따라서 길이의 단위를 공유하지 않습니다.

로렌츠 변환을 걸어서 확인하면 됩니다.

근데 한번 기하적으로 이 길이를 확인해봅시다

4. 민코프스키 도표의 기하적 해석 : 로렌츠 불변성과 쌍곡선을 이용

어떤 두 사건의 "시간차의 제곱 - 변위의 제곱"은 어떤 관성 좌표계를 잡더라도 상수입니다.

이를 로렌츠 불변성이라 부릅니다.

우리가 잡은 두 좌표계처럼 원점을 공유하는 좌표계의 경우, 두 사건 중 한 사건을 원점 사건으로 두고 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다. 

한편 아래와 같은 꼴인 곡선의 방정식을 쌍곡선이라 부릅니다. 이 곡선 위의 임의의 점은 y좌표의 제곱과 x좌표의 제곱의 차가 동일합니다. (힘내라 미적이!!)

사건 Y의 x' 좌표를 구하기 위해, 사건 A를 다음과 같이 정의했습니다.

"x' = Y의 x' 좌표, ct' = 0인 사건"

사건 A의 x좌표를 x1, y좌표를 y1, y1^2 - x1^2 = L이라 둬보죠. (ct를 그냥 y라 생각해요)

그럼 사건 A는 좌표계1의 관점에선  위의 점입니다.

한편 (x1, y1)이 이 쌍곡선 위의 점이면, 접선의 기울기는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

(x1, y1)이 x'축에 있으면 접선이 ct'축에 평행하고, (x1, y1)이 ct'축에 있으면 접선이 x'축에 평행함을 알 수 있습니다.

x'축과 ct'축이 y=x 대칭이기 때문입니다.

이런 접선의 평행관계를 생각하며 그림을 그려보면 다음과 같은 쌍곡선이 나옵니다.

지오지브라로 그려서 정확하게 그려졌고 L이 25임을, 그래서 x' = 5임을 확인할 수 있습니다.

접선을 이용하면 지오지브라가 없더라도 어느정도 정성적으로 구할 수 있습니다.

대소관계를 비교할 수도 있고요.

다음 시간에는 로렌츠 변환과 민코프스키 도표를 이용해 각종 상대론의 현상이나 역설을 음미해보겠습니다.

제가 좀 어렵게 쓴 것 같네요. 배움이 얕아서 ㅎㅎ..; 양해부탁드립니다.