0의0제곱은 0인가 1인가?

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답은 정의할수없다 이더라구요?

밑이 0이아닌 수의 0제곱은 항상1

지수가 음수이면
분모가 밑수의 지수의절대값제곱분의 1
(2의-2제곱은 4분의1)

여기까지는 중학수학 지수법칙과
고등수학 수체계 내용에서 배운
자명한 사실입니다

그렇다면 0의0제곱은 몇인가,
지수법칙에 의한 계산으로는
다른 모든 경우는 가능해도
0의 지수가 0이거나 음수이면
0으로 나눠야하는 모순이 생기기 때문에
정의하지 않습니다

그런데 더 알아보고싶어서 찾다가

0의0제곱이 1이라는것을 극한의 개념으로,
위의 y는x의x제곱 그래프로 증명했던데

물론 반례가있어서 1이 아니게되었는데

저 그래프자체는 옳은 그래프랍니다

그런데 어떻게 x값이 점점 작아지는데
0.5를 기점으로 점점 y값이 커지는건지
이해가 잘 안됩니다

그리고 두번째 증명,
집합론으로도 증명하였던데 (물론 1은아님)

정의역과 공역이 공집합일때 원소의개수가0이며
함수의 개수를 생각해보면
0의0제곱은 1이 적절하다

물론 저런 함수는 존재하지않겠지요
하나의x값에 짝지어질y값이 있어야
함수인데 x y가 둘다 없으니까요

그런데 어떻게 저 이야기로
함수의개수는 암것두없으니 0인데
0의0제곱은 1이 아니겠는가? 라는
추론이 가능한거죠?

0의0제곱이 얼마인지 궁금한게 아닙니다
그것은 정의할수없습니다

그런데 그값을 알아내려고 증명을 시도하는
저 두 방식들이 신기하고 이해가 미흡하네요

두가지 여쭙니다

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백곰달편 [518827]

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리버쿠터 · 450637 · 14/09/20 00:09 · MS 2013

으아 님 수학자 같아요
수학과 지망생이세요? 입시가 아닌 학문적으로 관심이 많으신것 같은데ㅎ

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백곰달편 · 518827 · 14/09/20 00:14 · MS 2014

지망생 아닙니다~

입시수학은 구겨넣는 기분이라
재미가없는데

호기심으로 출발하는 순수수학은
굉장히 재미있는것 같습니다

꼭 거창한건 아닌데 외우면 되기는하는데 이해는 솔직히 잘안되고
그런것들이 나오잖습니까?

그냥 그런가보다하고
외우거나 인정하면 될것을
왜 그런지를 꼭 알고싶어서
말입니다ㅎ

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in709 · 408186 · 14/09/20 00:29 · MS 2012

x^x 미분해서 증감 조사해보세요

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백곰달편 · 518827 · 14/09/20 00:34 · MS 2014

그래프 설명의 유일한 방법인가요?

미분없이 혹시 다르게는
설명안될까요?

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in709 · 408186 · 14/09/20 00:38 · MS 2012

흐음 제가 아는 건 미분 뿐ㅋㅋ

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백곰달편 · 518827 · 14/09/20 00:42 · MS 2014

답변 감사합니다ㅎ

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공사68기수석 · 508334 · 14/09/20 00:51 · MS 2014

y=1/x 그래프에서 x=1~∞까지 넓이는 무한대인데 x축으로 회전시킨 회천체의 부피는 무한대가 아닌것도

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백곰달편 · 518827 · 14/09/20 00:57 · MS 2014

???

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게크로맨서 · 467420 · 14/09/20 01:37 · MS 2013

x=0일 때 극한값(우극한)은 1이고 함수값은 정의되지 않네요 그 이유는 님이 이야기한 것과 같구... 그리고 집합과 관련해서는 특정한 방식으로 원소의 갯수를 셌을 때 n^n이 되는 경우가 있는데 그 때 n에 0을 넣어서 0^0을 찾고자 한거같습니다!

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백곰달편 · 518827 · 14/09/20 01:49 · MS 2014

집합에서 특정한 방식으로세면
원소의개수가 n^n이 되는경우가 어떤 경우일까요?

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aloe♡ · 514252 · 14/09/20 08:49 · MS 2014

y=x^x x가 +0으로 갈 때 lim(lny)= lim(xlnx)
x=1/t 라 치환하면 t가 ∞로 갈 때 lim(-lnt / t)=0
따라서 lim(lny)= ln(limy)=0 (∵연속함수의 극한에 대한 성질)
∴x가 +0으로 갈 때 lim(x^x)=e^0=1

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aloe♡ · 514252 · 14/09/20 08:51 · MS 2014

수리논술 공부하면서 너무 많이 나와서 ㅠㅠ
이게 맞는진 모르겠는데 1로간다고 배웠어요

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백곰달편 · 518827 · 14/09/20 13:34 · MS 2014

답변 감사합니다

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지뢰찾기 · 515915 · 14/09/20 23:29 · MS 2014

밑이 1보다 작을때는 지수가 크면 오히려 값이 작아지는데 x가 계속 작아지면 지수도 작아져서 오히려 결과값이 반등하는겁니다
최소값을 만들려면 '밑' 과 '지수' 중에 타협을 봐야하고, 그 선이 바로 1/e(0.5 아닙니다)가 되는거죠

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백곰달편 · 518827 · 14/09/21 00:14 · MS 2014

1을 기점으로 왜 그래프가 올라가는지는 답변덕분에 이해하였습니다

그런데 1을기점으로 다시
올라가기 시작한 곡선이 어디까지
올라갈지 그 최대값은 1이될지를
x가 0에 한없이 가까워질수록 한없이 커질텐데 그 커질수있는 최대값이 1이다! 라고 정한 이유가 잘 이해가 안되는것 같습니다

밑과지수의 타협으로
1/e라는것이 제 부족함에
이해가 잘 안됩니다

밑과지수의 타협과
여기서의 1/e는 무얼 의미하나요?

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지뢰찾기 · 515915 · 14/09/21 09:44 · MS 2014

밑이 1보다 작으니까요
밑이 1보다 작게 되면 지수가 음수가 되어야 1보다 커질 수가 있습니다. 그 밑이 몇이 되든지요
그런데 우리가 줄일 수 있는 지수는 '최소' 0까지인거고, 결국 1을 넘을수가 없는거죠
제가 타협이라고 말한것은 그리 큰 의미는 없습니다
밑이란 녀석은 최대한 작아지려고 하고, 지수라는 녀석은 최대한 커지려고 하는데(결과값이 작아지려면요) 하나를 바꾸면 다른 하나에서 그 대가(?)를 치르게 되니까요
근데 왜 1/e이냐... 미분하면 끝나는데 그런 설명은 싫어하시는거같고 한번 생각해봐야겠습니다

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백곰달편 · 518827 · 14/09/21 14:59 · MS 2014

상세한 답변 감사합니다

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