2022 노베이스를 위한 학습 가이드 - 수학

Question

﻿ 수학 문제를 푸는 원리    어쩌면 이 글은 여러분이 기대했던 내용과는 조금 다를 수 있습니다. 국어편에서는 실력으로 단계를 나눠 각 단계에서는 어떻게 공부해야 좋을지 다뤘습니다. 하지만 수학편에서는 "왜 문제가 안 풀릴까?"라는 질문에 초점을 맞췄습니다. 그 이유는, 국어는 어떻게 공부해야 할지 그 방법 자체를 모르는 노베이스 학생들이 많은 반면 수학을 어떻게 공부해야 하는지는 대부분 알고 계시거든요. 그렇기 때문에 수학편에서는 개념 확인용 예제에서 시작해 2점, 쉬운 3점, 더 나아가 준킬러 및 킬러 문제를 풀기 위해 어떤 마인드로 공부해야 하는지 얘기해 보겠습니다.    여러분이 수학 공부를 하는 이유는 수능에서 수학 문제를 풀기 위해서일 겁니다. 그렇기에 가장 근본적인 부분에서 출발하려 합니다. 수학 문제는 어떻게 푸는 걸까요?    문제 → 풀이 → 답    문제를 읽고, 풀고, 답을 구하죠. 정말 간단하지만 여러분도 알다시피 수학은 이게 전부예요. 오히려 이렇게 간단하기 때문에, 여러분은 무엇이 부족하고 무엇이 문제인지 모르는 경우가 많습니다. 이 과정을 좀 더 구체적인 행위들로 나눠보겠습니다.    문제   → 문제에서 준 조건을 파악   → 문제에서 요구하는 것(=답)을 파악   → 무엇을 활용해야 답을 구할 수 있는지 생각 (=발상)   → 풀이 (계산)   → 답   → 계산 실수 없이 틀렸다면 다시 발상으로    어떤가요? '문제'와 '풀이' 사이에 생각보다 많은 단계가 존재하죠. 여기서 핵심은 '무엇을 활용해야 답을 구할 수 있는지 생각'하는 것입니다. 이 글에서도 이걸 중점으로 다룰 예정이구요. 저는 학생들에게 이 부분을 설명할 때, 자물쇠 이야기를 많이 합니다. 다음과 같이 한번 생각해 볼게요. (상상력을 활용하시면 좀 더 이해하기 쉬울 거예요.)    문제 = 자물쇠   풀이 = 자물쇠에 열쇠를 꽂고 돌리는 행위   답 = 자물쇠를 여는 것    그럼 여기서 열쇠는 뭘까요?    바로 여러분이 열심히 공부하고 외웠던 개념과 공식들입니다. 이렇게 말하면 노베이스 학생분들의 반응은 비슷합니다.    "저는 분명 시발점 열심히 듣고 개념, 공식 다 외웠는데 문제가 안 풀리던데요?"    이런 상황이 생기는 이유는 여러분이 열쇠를 갖고만 있기 때문입니다. 수능에서는 여러분에게 자물쇠를 열라고 하지, "너 이 열쇠 가지고 있어?" 라고 물어보지 않아요. 여러분이 개념과 공식을 열심히 외웠다면, 'Q. 다음 중 근의 공식으로 올바른 것은?' 이런 문제가 나오면 풀 수 있겠죠. 이건 "니가 가진 열쇠 중에 파랗고 얇은 거 골라봐" 와 같은 거니까요. 수학 문제를 풀기 위해서는 열쇠를 가지고 있기만 해서는 안 됩니다. 눈 앞의 자물쇠에 올바른 열쇠를 꽂고 돌려야 하죠.  이제 그 구체적인 방법을 살펴보겠습니다. 상상 속의 자물쇠와 열쇠는 계속 챙겨주세요.   수학의 단계    '노베이스를 위한 학습 가이드'이기 때문에, 아직 개념 공부조차 안 된 상황에서 출발하겠습니다. 국어와 달리 각 단계는 수학 전체에 적용되는 것이 아니라 각 단원별로 적용됩니다.   수학 자물쇠 1단계 개념 공부 · 단원별 개념 공부 및 공식 암기 · 열쇠 습득 2단계 유형 공부 · 그 개념과 공식으로 어떤 문제를 풀 수 있는지 파악 · 그 열쇠로 어떻게 생긴 자물쇠를 열 수 있는지 파악 3단계 발상 · 문제를 보고 어떤 개념과 공식을 써야 할지 파악 · 자물쇠를 보고 어떤 열쇠를 어떻게 써야 할지 파악 4단계 심화 · 여러 발상과 응용이 필요한 문제 풀이 · 범상치 않은 자물쇠 열기 5단계 실전 대비 · 시간 재고 모의고사 풀이 · 문제 푸는 순서 · 자신만의 행동 강령 -    각 단계에 대한 설명은 먼저 ▷자물쇠 얘기를 한 뒤에 ▶수학에 대한 얘기를 하려고 해요. 그러니 만약 자물쇠 비유가 마음에 들지 않는다거나 오히려 이해에 방해가 된다면 스킵하시면 됩니다. (많이 별로라면 댓글로 얘기해주세요...!)   1단계 개념 공부 · 단원별 개념 공부 및 공식 암기 · 열쇠 습득  ▷ 열심히 열쇠를 모아주시면 됩니다. 이 세상에는 수많은 열쇠와 자물쇠가 있지만, 다행히 수능을 준비하기 위해 필요한 열쇠들은 정해져 있습니다. 이렇게 모은 열쇠들은 앞으로 언제 어떻게 쓰일지 모르기 때문에 잘 관리하셔야 합니다. 자신이 어떤 열쇠를 가지고 있는지도 꼭 기억하세요.  ▶ 즉, 수능 수학에 필요한 개념과 공식은 정해져 있다는 뜻이죠. 개념서를 보거나 개념 인강을 들으면서 각 단원의 개념을 이해하고 공식을 외우시면 됩니다. 수학은 범위가 넓어서 수1, 수2, 선택 과목을 순서대로 공부하는 경우, 선택 과목을 공부할 때쯤에는 수1이 제대로 기억나지 않는 경우도 많아요. 그러니 적절한 쿨타임을 정해두고 수시로 복습할 필요가 있습니다.   2단계 유형 공부 · 그 개념과 공식으로 어떤 문제를 풀 수 있는지 파악 · 그 열쇠로 어떻게 생긴 자물쇠를 열 수 있는지 파악  ▷ 자, 이제 모은 열쇠들로 자물쇠를 직접 열어볼 거예요. 여러분 앞에 자물쇠가 있으니 열쇠를 하나씩 넣고 돌려보면 되겠죠? 자물쇠가 열렸다면 기억해 두세요. "이렇게 생긴 자물쇠는 이 열쇠로 여는 거구나." 지금은 여러분의 주머니에 열쇠가 몇 개 없겠지만, 공부를 할수록 수십, 수백 개로 늘어날 거예요. 그때는 자물쇠를 마주했을 때 1번부터 200번 열쇠까지 다 꽂아볼 시간이 없습니다.    또 한 가지, 여러분이 앞으로 열어야 할 자물쇠는 맞는 열쇠를 꽂았다고 해도 어느 방향으로, 몇 바퀴를 돌리냐에 따라 자물쇠가 열릴 수도 있고 열리지 않을 수도 있습니다. 다시 말해, 열쇠를 고르는 것은 물론 제대로 꽂고 제대로 돌려야 한다는 거예요.  ▶ 이때 필요한 것이 단원별 기출 문제집 혹은 쎈이나 rpm 같은 유형 문제집입니다. 이런 문제집들은 여러분이 조금 전에 공부한 개념, 조금 전에 외웠던 공식으로 풀 수 있는 문제들을 골라줍니다. "15~20번 열쇠만 쓰면 이 자물쇠들 다 열 수 있어" 하고 알려주는 거죠. 그럼 여러분은 그냥 그 단원의 개념과 공식들을 어떻게 활용하면 이 문제를 풀 수 있을지만 고민하시면 됩니다.  ▷ 자물쇠에 15번 열쇠를 꽂아 왼쪽으로도 돌려보고, 오른쪽으로도 돌려보는 거죠. 반만 돌려서 안 열린다면 두 바퀴, 세 바퀴씩도 돌려보구요. 할 만큼 했는데 열리지 않는다면 16번 열쇠를 꺼내시면 됩니다. 그리고 반복하는 거죠.  ▶ 맨 처음 언급했던 수학 문제를 푸는 원리에 대해 기억하시나요?    문제   → 문제에서 준 조건을 파악   → 문제에서 요구하는 것(=답)을 파악   → 조건을 어떻게 활용해야 답을 구할 수 있는지 생각 (=발상)   → 풀이 (계산)   → 답    여기서 밑줄 친 두 부분을 파악하는 것은 결국 문제의 유형을 파악하는 것입니다. 단원별 유형 문제들을 반복해서 풀면 결국 '문제에서 이런 조건을 주고 이걸 구하라고 했으니 이렇게 풀면 되겠구나' 하는 걸 깨닫게 되고, 몸이 기억하게 됩니다.    해설지를 보고 깨닫는 방법도 있지만, 혼자서 충분히 머리 깨지게 고민한 후에 보시는 걸 추천드립니다. 원래 공부가 혼자서 끙끙 거리는 과정이 중요한 거라서요.  ▷ 여기서 밑줄 친 두 부분을 파악하는 것은 비유하자면 자물쇠의 생김새를 파악하는 것입니다. 이런 색깔, 이런 모양의 자물쇠는 3번 열쇠를 쓰면 열리는구나, 하고 느끼는 거죠. 그러다 나중에 비슷한 색, 비슷한 모양의 자물쇠를 만나면 "이건 그때 이걸로 열었던 것 같은데?" 하며 3번 열쇠를 꽂아보고. 열리지 않는다면 비슷한 번호대의 열쇠들을 사용하게 될 겁니다.  ▶ 결국 이 단계에서의 핵심은 '방금 공부한 개념과 공식이 문제에 어떻게 적용되는가?' 입니다. 문제의 조건을 파악하고, 문제에서 요구하는 것을 파악한 다음 개념이 어떻게 적용되는지. 다시 말해 단원별 대표 유형 문제들의 풀이법을 익히는 거죠.   3단계 발상 연습 · 문제를 보고 어떤 개념과 공식을 써야 할지 파악 · 자물쇠를 보고 어떤 열쇠를 어떻게 써야 할지 파악  ▷ '발상'이라는 건, 표에 써놓은 것처럼 자물쇠를 보고 어떤 열쇠를 꽂아 어느 방향으로 몇번 돌릴지 생각하는 것을 말합니다. 여러분이 처음 보는 자물쇠라면 당연히 일일이 해보는 수 밖에 없겠죠. 하지만 위에서 말씀드렸듯, 비슷하게 생긴 자물쇠는 여는 방법도 비슷합니다. 즉, 여러분이 열어본 자물쇠가 많을수록 새로운 자물쇠를 열 때 유리하다는 거예요. 과거의 경험을 바탕으로 이 자물쇠를 어떻게 열지 생각하는 거죠.  ▶ '발상'이라는 건, 표에 써놓은 것처럼 문제를 보고 어떤 개념과 공식을 활용해 어떤 방향으로 식을 세울지 생각하는 것을 말합니다. 여러분이 처음 보는 문제라면 당연히 막막할 수 밖에 없습니다. 하지만 문제의 조건과 문제에서 요구하는 것을 잘 살펴본 후, 여러분의 경험에 비춰보면 그 실마리를 찾을 수 있을 겁니다. 즉, 여러분이 풀어본 문제가 많을수록 새로운 문제를 풀 때 유리하다는 거예요. 수학에서 양치기가 중요하다고 하는 이유 중 하나입니다.    사실 2단계에서 대표 유형을 익히는 것에도 발상이 포함되어 있습니다. 하지만 비교적 간단한 발상이고, 해설지를 통해 "아 이렇게 푸는 거였구나"를 한번 확인하고 나면 그뒤로는 발상보다는 암기와 체득에 가까운 수준이죠. 3단계는 조금 더 구체적이고 복잡한 발상과 과정을 말합니다. 즉, 좀 더 어려운 문제를 다루라는 뜻이죠.    이때는 회차별 기출 문제집을 추천드립니다. 여기선 어떤 열쇠를 사용해야 하는지 알려주지 않거든요. 문제를 보고, 조건과 요구하는 것을 확인한 뒤 직접 발상을 통해 식을 세워 풀어야 합니다.    "2점, 쉬운 3점은 풀 수 있는데 어려운 3점이나 4점은 손도 못 대겠어요."    라고 말하는 학생분들이 대부분 여기 해당합니다. 2점, 쉬운 3점짜리 문제는 사실 발상이 거의 필요 없는 문제들이에요. 그래서 이런 문제들은 풀 수 있지만, 좀 더 높은 수준의 발상이 필요한 문제들은 건드리지 못하는 거죠.    아마 이 단계에서는 해설지를 자주 보게 되실 거예요. 그건 말리지 않습니다. 대신, 왜 이렇게 푸는 것인지에 집중해서 보세요. 그 이유는 다양합니다. '문제에서 이런 조건을 줬기 때문에', '이런 상황에 쓰라고 만든 공식이 있으니까'. 심지어 '문제 생긴 걸 보니 왠지 이렇게 하면 될 것 같아서' 같은 이유들까지 있어요. 그런 것들을 이해하셔야 여러분의 수학적 사고력이 성장할 수 있습니다. 그냥 해설만 보고 '아, 이렇게 푸는 거구나' 하는 건 2단계에서나 먹히는 방법입니다. 어려운 3점, 4점 문제들을 풀기 위해서는 '이렇게 푸는 건 알겠는데 왜 이렇게 푸는 거지?' 라는 생각을 자주 하셔야 합니다.  4단계 심화 · 여러 발상과 응용이 필요한 문제 풀이 · 범상치 않은 자물쇠 열기  ▷ 여러분이 지금까지 상대해 온 자물쇠들은 일반적인 자물쇠였습니다. 색이나 모양은 제각각이어도 열쇠 구멍이 하나가 있고 열면 끝나는 그런 일반적인 자물쇠요.    하지만 심화 단계에서 만날 자물쇠들은 여러분의 상상력을 조금 더 동원하셔야 합니다. 열쇠 구멍이 7개일 수도 있고, 열쇠를 꽂기 위해 또 다른 자물쇠를 여러개 풀어야 할 수도 있죠. 또 열쇠를 반만 꽂고 돌려야 하는 것도 있습니다. 아무튼 온갖 기괴한 자물쇠들이 여러분을 기다리고 있다고 생각하시면 됩니다. 이런 자물쇠들은 도대체 어떻게 열어야 할까요? 앞의 단계들과 마찬가지로 경험이 중요합니다. 지금까지 열었던 자물쇠들 중 조금이라도 비슷한 부분이 있다면 그때 사용했던 열쇠로 이것저것 시도해보는 거예요.  ▶ 다시 말해 킬러, 준킬러 문제들을 풀기 위해서는 여러 개념과 공식, 때로는 발상까지 혼합하고 응용할 수 있어야 합니다. 이런 문제들은 30분~1시간 이상을 투자할 가치가 있다고 생각해요. 손도 못 대겠다고 느낄 수준의 문제일수록 일단 손을 대셔야 합니다. 여러분이 알고 있는 모든 개념과 공식을 동원해서, 그리고 지금까지 풀어왔던 문제들과 조금이라도 비슷한 부분이 있다면 그걸 활용해서요. 이런 문제들은 부디 충분히 시간을 쏟아 고민하신 후에 해설을 보세요. 그리고 3단계와 마찬가지로 '왜 이렇게 푸는 것인지'를 꼭 공부하세요.     5단계는 생략하고, 이 단계들을 실제 공부에 어떻게 적용해야 하는지 살펴보겠습니다. 이것 역시 단원 단위로 적용된다는 점, 꼭 기억해주세요.   대상 추천 방법 및 예시 1단계 개념 공부 + 2단계 유형 공부 · 처음 수학 공부를 시작하는 노베이스 · "개념은 아는데 문제가 안 풀려요" · 개념 공부 + 예제, 2점~쉬운 3점 문제 · 시발점 + 쎈 a, b단계 3단계 발상 연습 · 수1, 수2, 선택 과목 각 영역 개념 공부 완료 · 수1 개념 완료 → 마더텅 수1 · 전 범위 개념 완료 → 고3 기출 문제집 4단계 심화 · 킬러, 준킬러 대비 · 고난도 N제 등 5단계 실전 대비 · 대부분의 문제를 풀 수 있는 학생 (안정적 1~2등급) · 고난도 N제, 실모 등  - 수학은 다양한 문제를 여러번 반복해서 푸는 것이 좋습니다. 특히 유형 및 기출 문제집의 경우 n회독이 필수라고 생각합니다. - 특히 개념을 공부하실 때, 진도를 나가면서 꼭 충분한 양의 문제를 풀어주세요. 라이트쎈도 괜찮으니까 제발요. - "안 풀리면 해설을 봐도 되나요?" 라는 질문을 정말 많이 받습니다. 모르면 당연히 보고 공부하셔야죠. 다만 본문에서 말씀드린 것처럼 부디 충분히 고민을 해보신 후에 해설을 보시고, "왜?"를 항상 생각하셨으면 좋겠습니다. - 질문이나 반박은 언제나 환영입니다. ﻿

화장실에서밥먹기 · Accepted Answer

정성추

고도고도 · Answer

글이 너무 좋아요!! 영어랑 과탐도 써주실 생각 없으신가요??ㅎㅎㅎ

	수학	자물쇠
1단계 개념 공부	· 단원별 개념 공부 및 공식 암기	· 열쇠 습득
2단계 유형 공부	· 그 개념과 공식으로 어떤 문제를 풀 수 있는지 파악	· 그 열쇠로 어떻게 생긴 자물쇠를 열 수 있는지 파악
3단계 발상	· 문제를 보고 어떤 개념과 공식을 써야 할지 파악	· 자물쇠를 보고 어떤 열쇠를 어떻게 써야 할지 파악
4단계 심화	· 여러 발상과 응용이 필요한 문제 풀이	· 범상치 않은 자물쇠 열기
5단계 실전 대비	· 시간 재고 모의고사 풀이 · 문제 푸는 순서 · 자신만의 행동 강령	-

2022 노베이스를 위한 학습 가이드 - 수학

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