조립제법보다 빠른 인수분해 방법 + 대입해서 0되는 값 찾기
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영상이랑 아래 글 같은 내용입니다.
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조립제법이 필요하거나 유용한 경우도 있지만
일반적으로 3차식, 4차식을 인수분해할 때는 굳이 조립제법을 사용할 필요가 없습니다.
조립제법의 원리, 조립제법보다 빠른 인수분해 방법, 대입해서 0되는 값 찾는 방법을 알려드립니다.
아래 글보고 이해 안되시면 위 영상을 참고해주세요.
1. 조립제법의 원리
는 글로 설명이 힘드므로... 영상을 참고해주세요.
2. 조립제법 없이 인수분해하기
x³+2x²-7x+4 를 인수분해한다고 할게요.
x=1 대입하면 1+2-7+4=0이 되므로
(x-1)을 인수로 가짐을 알 수 있습니다.
x³+2x²-7x+4 = (x-1)(☆x²+□x+△)로 인수분해 된다고 하고 높은 차수부터 하나씩 보시면 됩니다.
1) x³항의 계수
왼쪽에서 1이죠.
오른쪽에서 3차가 나오려면 1차×2차만 가능하고 x×☆x²=x³이므로 ☆=1입니다.
x³+2x²-7x+4 = (x-1)(x²+□x+△)이 되겠네요.
2) x²항의 계수
왼쪽에서 2이죠.
오른쪽에서 2차항이 나오려면 상수항×2차와 1차×1차가 가능합니다.
-1×x² + x×□x = 2x² 이므로 □=3입니다.
x³+2x²-7x+4 = (x-1)(x²+3x+△)이 되겠네요.
3) x항의 계수
왼쪽에서 -7입니다.
오른쪽에서 1차항항이 나오려면 상수항×1차와 1차×상수항가 가능합니다.
-7x = -1×3x + x×△이므로 △=-4입니다.
대입해서 0되는 값을 제대로 찾았다면 상수항은 자동으로 서로 같아집니다.(인수정리)
그래도 좌우 상수항이 4로 같음을 한번 확인해주시면 좋구요.
x³+2x²-7x+4 = (x-1)(x²+3x-4)가 되고 이차식도 마저 인수분해해주면
x³+2x²-7x+4 = (x-1)(x-1)(x+4) = (x-1)²(x+4)입니다.
3. 대입해서 0되는 값 찾는 방법(유리수 근 가질 때)
엄밀한 증명보다 예시를 통해 설명드릴게요.
(2x-1)(3x-2)(5x-4)를 전개하면
(2x-1)(3x-2)(5x-4) = 2×3×5x³ + ... + (-1)×(-2)×(-4) = 30x³ + ... -8입니다.
대입해서 0 되는 값은 1/2, 2/3, 4/5인데 이는 전개 전의 식을 알고 있기에 알 수 있습니다.
인수분해 된 식을 모르는 상황에서는 전개한 식 "30x³ + ... -8"만 알 수 있죠.
그런데 대입해서 0을 만드는 값 "1/2, 2/3, 4/5"을 관찰해보면 분모의 2, 3, 5가 곱해진 것이 전개식의 최고차항의 계수 30이 되고, 분자의 1, 2, 4가 곱해진 것이 전개식의 상수항(부호는 무시) 8이 됨을 알 수 있습니다.
따라서 대입해서 0이 되는 값의 후보는
분모는 최고차항 계수의 약수, 분자는 상수항의 약수이고 부호는 ±인 경우 모두 대입해보면 됩니다.
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댓글 요정님.. 감사합니다 ㅎㅎ
봐주셔서 감사합니다
오 저도 이렇게 했었는데!
댓글 감사합니다 도움되시길 바라요
결국엔 조립제법의 원리를 적용하는것 아닌가유? 저도 원래 조립제법+저방법 사용했어요
저는 조립제법보다는 항등식?의 원리라고 하고 싶습니다. 다항식×e^x 꼴 적분 등에서도 같은 원리를 사용할 수 있습니다.
아 계수비교요런거