조립제법보다 빠른 인수분해 방법 + 대입해서 0되는 값 찾기



영상이랑 아래 글 같은 내용입니다. 

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조립제법이 필요하거나 유용한 경우도 있지만

일반적으로 3차식, 4차식을 인수분해할 때는 굳이 조립제법을 사용할 필요가 없습니다.

조립제법의 원리, 조립제법보다 빠른 인수분해 방법, 대입해서 0되는 값 찾는 방법을 알려드립니다.

아래 글보고 이해 안되시면 위 영상을 참고해주세요.

1. 조립제법의 원리

는 글로 설명이 힘드므로... 영상을 참고해주세요.

2. 조립제법 없이 인수분해하기

x³+2x²-7x+4 를 인수분해한다고 할게요.

x=1 대입하면 1+2-7+4=0이 되므로

(x-1)을 인수로 가짐을 알 수 있습니다.

x³+2x²-7x+4 = (x-1)(☆x²+□x+△)로 인수분해 된다고 하고 높은 차수부터 하나씩 보시면 됩니다.

1) x³항의 계수

왼쪽에서 1이죠.

오른쪽에서 3차가 나오려면 1차×2차만 가능하고 x×☆x²=x³이므로 ☆=1입니다.

x³+2x²-7x+4 = (x-1)(x²+□x+△)이 되겠네요.

2) x²항의 계수

왼쪽에서 2이죠.

오른쪽에서 2차항이 나오려면 상수항×2차와 1차×1차가 가능합니다.

-1×x² + x×□x = 2x² 이므로 □=3입니다.

x³+2x²-7x+4 = (x-1)(x²+3x+△)이 되겠네요.

3) x항의 계수

왼쪽에서 -7입니다.

오른쪽에서 1차항항이 나오려면 상수항×1차와 1차×상수항가 가능합니다.

-7x = -1×3x + x×△이므로 △=-4입니다.

대입해서 0되는 값을 제대로 찾았다면 상수항은 자동으로 서로 같아집니다.(인수정리)

그래도 좌우 상수항이 4로 같음을 한번 확인해주시면 좋구요.

x³+2x²-7x+4 = (x-1)(x²+3x-4)가 되고 이차식도 마저 인수분해해주면

x³+2x²-7x+4 = (x-1)(x-1)(x+4) = (x-1)²(x+4)입니다.

3. 대입해서 0되는 값 찾는 방법(유리수 근 가질 때)

엄밀한 증명보다 예시를 통해 설명드릴게요.

(2x-1)(3x-2)(5x-4)를 전개하면

(2x-1)(3x-2)(5x-4) = 2×3×5x³ + ... + (-1)×(-2)×(-4) = 30x³ + ... -8입니다.

대입해서 0 되는 값은 1/2, 2/3, 4/5인데 이는 전개 전의 식을 알고 있기에 알 수 있습니다.

인수분해 된 식을 모르는 상황에서는 전개한 식 "30x³ + ... -8"만 알 수 있죠.

그런데 대입해서 0을 만드는 값 "1/2, 2/3, 4/5"을 관찰해보면 분모의 2, 3, 5가 곱해진 것이 전개식의 최고차항의 계수 30이 되고, 분자의 1, 2, 4가 곱해진 것이 전개식의 상수항(부호는 무시) 8이 됨을 알 수 있습니다.

따라서 대입해서 0이 되는 값의 후보는

분모는 최고차항 계수의 약수, 분자는 상수항의 약수이고 부호는 ±인 경우 모두 대입해보면 됩니다.