해석개론 이야기 2 - 상극한과 하극한
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- 생각나는 대로 막 쓰고 있기 때문에 영어 용어와 한국어 용어를 혼용하고 있습니다.
- 오타나 오류 지적 환영합니다.
- 속편의 존재성이 보장되지 않습니다.
0. 거리 공간
수열의 수렴을 이야기하기 위해 거리의 개념을 도입하려고 합니다. 어떤 집합의 원소 사이의 ‘거리’를 잰다는 것은 무엇을 의미할까요?
Definition 집합 X와 함수 d:X×X→ℝ가 주어졌을 때 (X, d) (또는 간단하게 X)가 metric space(거리공간)라는 것은, 임의의 x, y, z∈X에 대해 다음이 성립한다는 것이다.
- d(x, y) = 0일 필요충분조건은 x = y.
- d(x, y) = d(y, x)
- d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
(이전 글에서와 마찬가지로 우리는 많은 것들을 추상화하고 있습니다. 추상화의 목적은 괜히 어려운 척하기 위함이 아니라 한 번에 더 많은 것들을 다루기 위함입니다.)
1)은 “같은 것 사이의 거리는 0이고, 거리가 0이면 같은 것이다”, 2)는 “양쪽으로부터 잰 거리는 같다”, 3)은 삼각부등식이 성립한다는 것입니다. 우리가 생각하는 거리의 성질을 다 가지고 있습니다. 1)~3)으로부터 임의의 x, y에 대해 d(x, y) ≥ 0임을 보일 수 있습니다.
Example
- ℝ 또는 ℂ에서 d(x, y)=|x - y|로 정의하면 d는 위의 성질들을 만족하므로 (ℝ, d), (ℂ, d)는 metric space. ⇒ 당분간은 사실상 이것만 쓸 예정
- 평면이나 공간에서 우리가 알고 있는 ‘거리’는 위의 성질들을 만족하므로, 평면과 공간은 metric space. (존재를 알 수 없는 이후 글에서 norm의 개념을 정식으로 정의할 것입니다.)
- 구간 [0, 1]에서 실수로 가는 연속함수들의 집합에서, 임의의 원소 f, g에 대해 d(f, g)를 |f - g|의 최댓값으로 정의하면 위의 성질들을 만족하므로, 이 집합은 metric space. (존재를 더더욱 알 수 없는 훨씬 이후 글에서 이것의 정체를 알게 됩니다.)
- 아무 집합 X나 가져와서, d(x, y)를 x = y일 때 0, x ≠ y일 때 1로 정의하면 위의 성질들을 만족하므로 metric space.
1. 수열의 수렴
Definition 집합 X에 대하여, 자연수 또는 정수에서 X로 가는 함수를 sequence(수열)라고 하고 (xn)과 같이 쓴다. X가 metric space일 때, X 안의 sequence (xn)이 점 x∈X로 converge(수렴)한다는 것은, 임의의 ε > 0에 대해 적당한 자연수 N이 존재하여 [n ≥ N이면 d(xn, x) < ε]를 만족시킨다는 것이다. 이때 limn→∞ xn = x, limn xn = x 등으로 쓴다.
Metric space X의 부분집합 S가 bounded(유계)라는 것은, 어떤 양수 M이 존재하여 모든 x, y∈S에 대해 d(x, y) < M라는 것이다. 또 sequence (xn)이 bounded(유계)라는 것은 {xn: n∈ℕ}이 bounded라는 것이다.
해석학의 상징과도 같은 ε이 처음 등장하는 순간입니다. 위 정의를 곱씹어 보면 …
- “n이 충분히 크면 xn이 x로 가까워진다”는 것을 엄밀하게 표현하는 것이 우리의 목적입니다. ‘가까워진다’와 ‘충분히 크면’을 어떻게 엄밀하게 쓸 수 있을까요?
- ‘가까워진다’는 것은, 임의의 양수(ε)를 가져와도 그보다 거리를 작게 만들 수 있다는 말로 바꿔쓸 수 있습니다. 그리고 ‘n이 충분히 크면’은 어떤 기준 N보다 n이 크다는 말로 바꿔 쓸 수 있습니다. 이제 위의 정의는 완전히 자연스럽습니다.
여기서 새로 등장한 일반적인 metric space에서의 bounded의 정의와, 앞에서 정의했던 실수에서의 bounded의 정의는 동치입니다.
Proposition (xn)이 metric space X 안의 sequence라고 하자.
(가) (xn)이 X 안의 어떤 점으로 수렴하면 bounded.
(나) (xn)이 x∈X로 수렴하고 x’∈X로 수렴하면 x = x’. (극한의 유일성)
증명) (가)를 보이기 위해 (xn)이 x로 수렴한다고 하자. 극한의 정의에 의해, 자연수 N이 존재하여 n ≥ N이면 d(xn, x) < 1이 성립한다. 이때 {xn: n < N}은 유한집합이므로 bounded(왜 그런가?). {xn: n ≥ N}에서 아무 점 2개나 가져와도 둘 사이의 거리는 2보다 작으므로 bounded. Bounded set 2개의 합집합은 bounded이므로(왜 그런가?) 집합 {xn}은 bounded. 따라서 (가)가 증명되었다.
(나)를 보이기 위해, x ≠ x’라고 가정하자. Metric의 정의에 의해, d(x, x’) > 0이다. 이 값을 r이라고 하자. 그러면 극한의 정의에 의해 n ≥ N이면 d(xn, x) < r/2인 N이 존재하고, n ≥ N’이면 d(xn, x’) < r/2인 N’이 존재. N’’=max{N, N’}라고 하면 d(x, x’) ≤ d(x, xN’’) + d(xN’’, x’) < r이므로 모순. □
(거리의 개념까지도 이용하지 않고 더 추상적인 topological space에서 수열의 수렴을 정의할 수 있습니다. 이때 (나), 즉 수열의 극한의 유일성은 Hausdorff space의 성질입니다. 그리고 해석개론에서 다루는 모든(아마?) 공간은 Hausdorff입니다.)
이제부터 이 글이 끝날 때까지 metric space X를 d(x, y) = |x - y|로 주어진 실수 집합 ℝ로 한정하고 실수열만 생각합니다. 고등학교에서 증명 없이 배웠던 극한의 덧셈, 곱셈, 상수배, 나눗셈과 관련된 많은 성질들을 이제는 정식으로 증명할 수 있게 되었습니다. (여기서 하기에는 글이 너무 길어져서 생략합니다.)
2. 상극한(upper limit)과 하극한(lower limit)
2.0. 단조수열
어떤 수열이 수렴한다는 것을 정의에 의해 보이려면, 수렴할 것으로 예상되는 점 x를 먼저 찾고 그 x로 계속 가까워진다는 걸 보여야 합니다. 그런데 그 x를 찾는 것이 쉽지 않을 때가 많습니다. 그래서 우리는 어디로 수렴하는지 모르는 상태에서 수열의 수렴을 판정할 수 있는 많은 방법들을 개발해야 하는데, 단조수열은 그 중 첫 번째입니다.
Definition 실수열 (xn)이 monotonically increasing = nondecreasing(단조증가)한다는 것은 모든 자연수 n에 대해 xn ≤ xn+1이라는 것이다. 마찬가지 방법으로 monotonically decreasing = nonincreasing(단조감소) sequence를 정의한다. Monotonically increasing or monotonically decreasing sequence를 monotonic sequence라고 한다.
Theorem 실수열 (xn)이 monotonic이라고 하자. 이때 (xn)이 수렴할 필요충분조건은 (xn)이 bounded인 것이다.
증명) (xn)이 수렴할 때 bounded인 것은 이미 보였으므로 그 역만 보이면 된다. (xn)이 bounded and monotonically increasing이라고 가정하자. 그러면 {xn}은 nonempty bounded above. 실수체의 completeness에 의해 {xn}의 supremum x∈ℝ가 존재한다. 우리의 주장: (xn)이 x로 수렴한다. 임의의 ε > 0에 대해 x – ε는 {xn}의 upper bound가 아니다. 즉, xN > x – ε인 자연수 N이 존재한다. (xn)이 monotonically increasing이니까 n ≥ N이면 xn ≥ xN이고, x – ε < xN ≤ xn ≤ x. 따라서 (xn)은 x로 수렴한다. (xn)이 monotonically decreasing일 때도 마찬가지. □
Corollary 부분합이 bounded이고 각 항이 nonnegative인 급수는 수렴한다.
증명) 당연. □
급수의 수렴은 해석개론에서 매우매우매우 중요한 주제입니다. 급수의 수렴판정에 대해서는 (존재가 보장되지 않는) 이후 글에서 자세히 다룰 예정입니다.
2.1. 상극한과 하극한
이제 이 글의 최종 목표인 상극한과 하극한을 정의하는데, 이 개념이 왜 필요한지부터 설명하려 합니다.
실수열 (xn)을 n이 홀수일 때 1/n, n이 짝수일 때 -n으로 정의합시다.
이 수열이 수렴하지 않는 것은 쉽게 알 수 있습니다. 또 (아직 정의하지는 않았지만) 수열이 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않습니다. 그런데 홀수항만 취해서 보면 – 즉 (xn)의 특정한 부분수열을 보면 – 이 부분수열은 0으로 수렴하는 단조감소수열입니다. 이 0에 어떤 의미를 부여하고 싶은데, 여기서 0은 일종의 ‘위에서부터 내려오는 극한’이라고 볼 수 있지 않을까요?
당연한 정의이지만 아직 하지 않은 정의 하나를 하고 가겠습니다.
Definition 실수열 (xn)에 대하여, 임의의 실수 M에 대해 적당한 자연수 N이 존재하여 [n ≥ N이면xn > M]를 만족시키면, limn xn = ∞로 쓴다. 마찬가지 방법으로 limn xn = -∞을 정의한다. 그리고 실수의 부분집합 S에 대하여 S가 bounded above가 아닐 때 supS = ∞, bounded below가 아닐 때 infS = -∞와 같은 표기도 쓰기로 한다.
그리고 관찰 하나.
Observation 실수의 nonempty subset A, B에 대하여 A ⊆ B이면 supA ≤ supB이고 infA ≥ infB.
증명) 생략. (무한대가 나오는 경우는 따로 처리하고, 그렇지 않은 경우에는 sup과 inf의 정의를 이용하면 된다.) □
Definition 실수열 (xn)의 upper limit(상극한)을 다음과 같이 정의하고, limsupn xn으로 쓴다.
- (xn)이 bounded above가 아니면 limsupn xn = ∞.
- (xn)이 bounded above이면, 각 자연수 n에 대하여 집합 Sn = {xk: k ≥ n}을 정의한다. 이때 각 Sn은 bounded above이므로 supremum이 유한한 실수로 존재. 이 값을 yn으로 정의하자. 즉, yn = supSn. Sn의 정의에 의해 Sn ⊇ Sn+1이므로 관찰에 의해 yn ≥ yn+1. 즉 수열 (yn)은 단조감소수열이다. (yn)이 bounded below이면 어떤 실수로 수렴하므로 이 값을 limsupn xn으로 정의한다. 그렇지 않으면 limsupn xn = -∞. (두 경우 모두 limsupn xn = limn yn으로 쓸 수 있다.)
마찬가지 방법으로 lower limit(하극한)을 정의하고 liminfn xn으로 쓴다.
도대체 이게 무슨 소리인가? 필자도 이 개념을 이해하는 데 상당히 많은 시간이 걸렸습니다. 다음 정리는 이 정의를 좀 더 구체적으로 설명해 줍니다.
Theorem 실수열 (xn)이 bounded 라고 하자. 이때 upper limit의 정의에 의해, limsupn xn은 유한한 실수로 존재한다. 실수 α에 대하여 limsupn xn = α일 필요충분조건은 다음 1), 2)가 모두 성립하는 것이다.
- 임의의 ε > 0에 대해 적당한 자연수 N이 존재하여 [n ≥ N이면 xn < α + ε]을 만족한다.
- 임의의 ε > 0에 대해 xn > α – ε를 만족하는 자연수 n이 무수히 많이 존재한다.
증명) 먼저 limsupn xn = α라고 가정하고 ε > 0이 주어졌다고 하자. 그러면 limn yn = α이므로, yN < α + ε인 N이 존재한다. 이때 n ≥ N이면 yN의 정의에 의해 xn ≤ yN < α + ε이므로 1)이 성립. 이제 2)를 보이기 위해, xn < α – ε를 만족하는 자연수 n이 유한 개만 존재한다고 가정하자. 그러면 충분히 큰 자연수 K가 존재하여, n ≥ K이면 xn ≤ α – ε이다. 즉, yK ≤ α – ε인데 이는 (yn)이 단조감소수열인 것과 limn yn = α인 것에 모순이다. 따라서 2)가 성립한다.
이제 1)과 2)를 가정하고 ε > 0이 주어졌다고 하자. 1)에 의해 limn yn ≤ α + ε이다. 그리고 2)에 의해, 각 n에 대해 yn ≥ α – ε이므로 limn yn ≥ α – ε이다. 즉 α – ε ≤ limn yn ≤ α + ε인데, ε은 임의의 양수이므로 limsupn xn = limn yn = α. □
하극한에 대해서도 마찬가지의 statement를 할 수 있습니다. 상극한과 하극한이 유용한 한 가지 이유는 바로 다음 정리 때문입니다.
Theorem 실수열 (xn)과 실수 α에 대해, limn xn = α일 필요충분조건은 limsupn xn = liminfn xn = α.
증명) 생략. (위의 정리와 그 하극한 version에 의해 자명.) □
한 가지 예시로 이 글을 마치겠습니다.
n=0, 1, …에서 정의된 실수열 (sn)에 대하여, n=1, 2, …에 대해 σn = (s0 + … + sn-1) / n으로 정의하자. (sn)이 s로 수렴하면 (σn)도 s로 수렴함을 보여라.
풀이) s=0이라고 가정해도 일반성을 잃지 않는다(왜 그런가?). 양수 ε을 고정하고, [n ≥ N이면 |sn| < ε]를 만족하는 자연수 N을 찾는다. 그러면 n > N에 대해 |σn| ≤ |s0 + … + sN| / n + (|sN+1| + … + |sn|) / n < |s0 + … + sN| / n + (n – N)ε / n < |s0 + … + sN| / n + ε.
이제 양변에 limsup을 취하자. (lim을 바로 못 취하는 이유는, 좌변이 아직 수렴하는지 모르기 때문이다! limsup은 항상 유한한 실수이거나 양의 무한대 또는 음의 무한대이므로 이런 문제에서 자유롭다.) 첫 번째 항의 분자는 n과 무관한 유한한 값이므로 limsup을 취하면 0이 된다. 즉, limsupn |σn| ≤ ε이다. 그리고 0 ≤ liminfn |σn| ≤ limsupn |σn| ≤ ε인 것도 알 수 있다. 그런데 임의의 양수 ε에 대해 이 식이 성립하므로 liminfn |σn| = limsupn |σn| = 0이다. 따라서 |σn|도 0으로 수렴하고 σn도 0으로 수렴한다. □
이 문제는 푸리에 급수의 점별 수렴을 판정할 때 중요한 역할을 합니다.
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이거 워딩부터 수학냄새가 코를찔러서 어질어질하네요..
정성추
그럼 캘큘러스에서 배운 입실론 델타 논법은 사실 거리함수 d(x,y) = |x-y|인 경우만 다룬거고, 거리함수가 달라지면 극한의 성질도 바뀔 수도 있겠네요. ㄷㄷ
네 맞습니다. metric space의 4번째 예시를 discrete metric이라고 하는데 이 경우에는 [xn이 x로 수렴하는 것]과 [특정 N 이상이면 xn이 항상 x인것]이 동치입니다. 또 X에서 X로 가는 모든 함수가 연속함수이고요(엡실론-델타 논법에서 델타를 1/2 같은거로 잡으면 항상 연속의 정의에 부합)
시즌2엔 위상 칼럼도 써주시는거죠?
이번 겨울에 위상 공부할 예정이라 아마 좀 나중에..?
벌써 기대된다..
limsupn xn = a의 필요충분조건 중 2번째 조건이 좀 이상한 것 같습니다. (아마 부등호 방향이 반대..?)
예를 들어 xn = 1/n으로 정의하면 xn은 0으로 수렴하므로 limsupn xn = 0이지만 xn>0이므로 xn < 0-입실론 인 n의 개수는 0입니다.
이와 별개로, limsupn과 liminfn이 수열의 수렴을 증명할 때 유용한 이유가 궁금합니다. 수열의 수렴 증명 과정에서 절댓값을 풀어내지 않아도 돼서 그런건가요?
앗 그러네요. 부등호 방향이 반대가 맞습니다.
그냥 lim을 생각해보면, 1) 수렴하거나 (이 경우가 제일 좋고) 2) 양/음의 무한대로 발산하거는 (이 경우도 ㄱㅊ) 것 이외에도 3) 진동하는 경우가 있습니다. 그런데 진동하는 경우는 1)과 2)가 아니라는 것 외에 사실상 아무런 정보를 얻지 못하는 것과 같아서 굉장히 좀 안좋단 말이죠.
예를 들어서 모든 n에 대해 an <= bn이고 bn이 어떤 실수 b로 수렴한다고 해서 lim an <= b 이렇게 못쓰는 이유가 좌변이 (유한한 실수로든, 양/음의 무한대로든) 존재하지 않을수 있기 때문이잖아요?
그런데 limsup, liminf는 정의상 유한한 실수 또는 양/음의 무한대이기 때문에 3)의 케이스가 발생하지 않아서, 부등식 양변에 lim을 못취하더라도 limsup이나 liminf를 취하는 것은 가능합니다.
모든 n에 대해 an <= bn이고 limsup bn = b이면, limsup an <= limsup bn 이렇게 써도 문제가 없다는거죠. lim에 대한 정보는 아니지만 그래도 좀 비슷한? 애에 대한 정보를 찾을 수 있다는 점에서 의의가 있습니다.
보통 문제풀때 an이 0으로 수렴하는 것을 구해야 하는데 수렴성조차 알 수 없을때, limsup |an| <= (어떤것) 이런식으로 만들어서 우변을 0으로 보내는 일을 많이 합니다.
아 무한대로 보냈을 때의 성질을 기술하고 싶은데 lim을 쓰면 목적과 방법이 뒤바뀐 셈이 되고, limsup나 liminf는 수렴하지 않아도 쓸 수 있는데다가 유계조건 만으로 케이스를 좁힐 수 있어서 그렇군요.
오늘 칼럼 재밌었습니다 ^^
이후 글이 있을지는 모르겠지만 만약 존재한다면 많은관심 부탁드립니다참고로 마지막 문제의 역은 성립하지 않습니다.
sn을 0 1 0 1...로 하면 sigma n은 1/2로 수렴하는데 sn은 수렴하지 않아요.