제로콜라 [408120] · MS 2017 · 쪽지

2021-12-18 12:17:46
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수능 때까지 계속 써먹는 내용! 헷갈리지 않고 a<x<b인 정수 개수 세는 방법과 원리

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123<x≤456인 정수의 개수를 센다고 했을 때 방법을 모르시거나 결과만 외워서 헷갈리는 분들을 위해 원리와 방법을 정리해보았습니다.




먼저 개수를 센다는 것은 1부터 하나씩 대응시키는 것입니다.

빵이 3개 있다는 것은 빵 하나 마다 1부터 1, 2, 3을 대응시키는 것이죠.

대응이 끝났을 때 마지막으로 대응된 수가 개수이죠. 1부터 대응시킨다는게 중요합니다.


 



그렇다면 1≤x≤5인 정수의 개수는 당연히 5개입니다. 왜냐하면 1부터 시작되니까 마지막 수인 5가 개수가 되는 것이죠.

3≤x≤7인 정수의 개수라고 하면 3, 4, 5, 6, 7인데 2씩 빼어 1≤x≤5인로 바꾸어도 개수가 변하지 않으니 5개입니다. 출발하는 수를 1로 바꾸는 아이디어이죠.

조금 다르게도 해석할 수 있는데 2가 아닌 3을 빼봅시다. 3≤x≤7의 왼쪽에 있는 3을 빼는 것이죠 그러면 오른쪽은 7-3=4가 됩니다. 0≤x≤4로 바뀌면 0, 1, 2, 3, 4로 마지막 수가 4이고 0을 추가로 세어주어야하니 5개 = (7-3)+1 개가 된다고 해석할 수도 있습니다.

 



1부터 출발하게 해석해볼게요.

3<x≤7은 3을 빼어 0<x≤4로 바꾸면 1, 2, 3, 4로 마지막 수가 4가 되어 4개

3≤x<7은 2를 빼어 1≤x<5로 바꾸면 1, 2, 3, 4로 마지막 수가 4가 되어 4개

3<x<7은 3를 빼어 0<x<4로 바꾸면 1, 2, 3으로 마지막 수가 3이 되어 3개입니다.


 



이번에는 부등식의 왼쪽에 있는 3을 빼는 방법으로 해석해볼게요.

3<x≤7은 3을 빼어 0<x≤4로 바꾸면 1, 2, 3, 4로 마지막 수가 4가 되어 4개 = (7-3) 개

3≤x<7은 3를 빼어 0≤x<4로 바꾸면 0, 1, 2, 3로 마지막 수가 3이지만 0도 있으므로 4개 = (7-3) 개

3<x<7은 3를 빼어 0<x<4로 바꾸면 1, 2, 3으로 마지막 수가 3이 되어 3개 = (7-3) -1개


따라서 정수 m, n에 대하여

m≤x≤n인 정수 x의 개수는 n-m+1 개

m<x≤n인 정수 x의 개수는 n-m 개

m≤x<n인 정수 x의 개수는 n-m 개

m<x<n인 정수 x의 개수는 n-m-1 개

입니다.

 



42.6≤x<82.8 인 정수 개수를 세라고 하면 정수만 골라내서 생각하면 43부터 82까지입니다.

43≤x≤82이면 (82-43)+1 = 40개 입니다.

 




42.6≤x<82.8 인 3의 배수만 센다고 해볼게요.

범움 안에 들어가는 가장 작은 3의 배수는 45, 가장 큰 3의 배수는 81입니다.

45=3×15, 81=3×27 이므로

x=3N에서 N이 15부터 27까지 변할 수 있기 때문에

15≤N≤27인 정수를 세는 것이고 따라서 (27-15)+1 = 13개입니다.

 




마지막으로 기출문제(고1 2020학년도 11월 12번)입니다.

|x-7| ≤ a+1을 만족하려면

-(a+1) ≤ x-7 ≤ a+1 즉, -(a+1)+7 ≤ x ≤ (a+1)+7이구요.

뒤에서 앞을 빼고 +1 하는게 개수죠?

(a+1)+7+(a+1)-7+1 = 9 즉, 2×(a+1)=8, a=3입니다.

 






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