학교 논술문제 풀어주실 수학고수분!!

Question

좌표평면 위에서 움직이는 두점 A,B가 있다. 시각 t=0일때 A의 위치는 (0,0)이고
B의 위치는 (6,6)이다. 이후 시각 t=1,2,3...에 동전을 던져서 앞면이 나오면
A는 (X,Y)에서 (X+1,Y)로, B는 (X,Y)에서 (X-1,Y)로 이동하고, 뒷면이 나오면
A는 (X,Y)에서 (X,Y+1)로 이동하고 B는 (X,Y)에서 (X,Y-1)로 이동한다,
동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률이 각각 1/2일때 다음을 구하시오.

(1)한 개의 동전을 던져서 A,B를 이동해갈때 A,B가 만날 확률을 구하시오.

(2)두개의 동전 a,b를 던져서 A는 a의 결과에따라, B는 b의 결과에 따라

이동해갈때 A,B가 만날 확률을 구하시오

라마누잔 · Accepted Answer

풀이를 직접 올리기엔 넘 길어서 아이디어만 말씀드릴게요 ㅠ
1번은 일단 보이셔야 할 것이 두 점이 만날 조건들을 적어주셔야 합니다. 두 점이 만나려면 동전던지기를 6번 시행해야하죠.  그리고 최초 6번의 시행에서 앞이 3번 뒤가 3번 나와야만 만날 수 있습니다. 그것을 증명해야 하는데 이때는 각 시행에 의해 점들이 정수 격자점을 따라 움직인다는 것과 격자점 위에서 두 점 사이의 최단거리가 12가 되야함을 이용해서 증명하시면 됩니다. 이동거리가 12보다 작다면 만날 수 없겠죠. 그러나 여기서 그치지 말고 6번보다 많이 시행했을때는왜 두 점이 만날 수 없는가를 보이셔야 합니다. 사실 이게 더 어렵죠. 일단 6번 시행했을 때 만난 다음에 거기에 추가시행을 하면 결코 만날 수 없음을ㅂ보이시구요, 6번 시행에서 못만났을때 그 이후로도 결코 만날ㅅ수 없음을 보이셔야 합니다. 이것도 격자점을 이용해 증명하세요. 그다음에 마지막으로 우리가 오로지 t=6일 때만 만날 수 있다는 것을 보였으므로 그때 확률을 구하면 됩니다. 이건 일도 아니죠?

라마누잔 · Answer

2번도 똑같은 논리로 써나가시면 됩니다만 조금 더 복잡하죠. 2번에서 역시 A와 B가 만나려면 어떤 조건이 있는가 고려해야 합니다. 일단 A와 B가 만나면 어디서 만날지 생각해봅시다. 1번과 다르게 A와 B는 독립적으로 움직입니다만, 한 차레에 꼭 1씩 움직여야만 하죠. 이걸 생각해봤을때 두 점이 만난다면 그 만난 점에서 두 점까지의 격자점으로 움직인 거리가 같아야만 할 것입니다. 그 점들을 좌표평면에서 죽 그어보시면 교점이 직선 y=-x+6 위에 있다는 것을 알 수 있을 것입니다.  이제 두 점이 만날때 얼마나 시행해야 하는지 보입시다. 일단 두 점이 이동해서 y=-x+6 위로 오려면 최소 6번은 시행해야 합니다. 아까와 같이 그보다 시행이 적으면 이동거리가 모자라기 때문이죠. ㅠㅠ 베터리 음다;;

라마누잔 · Answer

베터리 바까 끼우면서 생각났습니다.  일단 n 회 시행해서 A가 어디로 가는지 봅시다. n 회 중 앞이 나온 갯수를 a, 뒤가 나온 갯수를 b 라 하면 n=a+b 입니다. 우리가 보이고 싶은 것은 A가 동전던지기를 n 회 시행하면 y=-x+n 이라는 직선 위에 놓이지 않는가를 보이고 싶습니다. (어떻게 이런 생각이 들었냐면, 1회 던졌을때 A가 도달할수 있는 점들을 이어보고 2회 던졌을때를 이어보고 하니 딱 견적 나오드라구요.) 일단 n회 시행하면 앞이 a개 뒤가 b개 이므로 점 A는 (a,b) 로 이동합니다. 이 점을 y=-x+n 이라는 직선에 대입합시다. 그러면 b=-a+n가 되고 따라서 n=a+b 이므로 점 (a,b) 는 직선 y=-x+n 위의 점임을 증명했습니다. 그런데 점 B는 점 A와 y=-x+6 에 대하여 대칭이고 그 이동변화 양상도 대칭이므로 우리는 비슷한 규칙이 있음을 추론할 수 있습니다. 아마 점 B는 y=-x+12-n 위의 점일것입니다. 이를 증명하기 위해 이번에도 앞에서와 같은 방법을 씁시다. n회 중 앞면을 a 뒷면을 b 라 하면 n=a+b 입니다. n회 시행해서 B가 움직인 위치는 (6-a,6-b) 입니다. 이것을 직선의 방정식에 대입하면 6-b=-6+a+12-n 이므로 식을 정리하면 n=a+b가 되어 점 (6-a,6-b)는 직선 y=-x+12-n 위의 점임을 알 수 있습니다. 따라서 두 점이 이동해서 만나려면 y=-x+n 과 y=-x+12-n 이 같은 직선일 때만 두 점이 만날 수 있습니다. 이때 나오는 n 이 두 점이 만날 수 있는 시행 횟수죠. 물론 우리는 이런 복잡한 과정을 거치지 않아도 n=6일거라는 걸 알 수 있지만, 논리적으로 근거를 들어야 하니깐요. 방정식 x+y-12+n=x+y-n 을 풀면 2n=12 따라서 n=6이 나옵니다. 이제 남은것은 6회 시행해서 두 점이 같은 위치에 있을 확률을 구하면 됩니다. 물론 이것도 아까처럼 일도 아니겠지만... 혹시나 하여 두점이 만나려면 동전 a와 동전 b 의 앞 뒤 갯수가 똑같아야 겠죠?

라마누잔 · Answer

ㅜㅜ 글을 이제서와 봐서 이제야 답변을 달아드려 조금 안타깝게 되었네요... 이거 버스에서 봐서 집중해서 푼게 아니라 틀린부분이 있을지도 모릅니다...;;; 그래도 최대한 엄밀성을 잃지 않으려 했습니다. 참고하시고 수학공부하는데 도움이 되셨기를 바랍니다.

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