쓸모없는 잡지식) 구분구적법과 정적분의 정의
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우리는 고등학교 교과과정 <미적분>에서 먼저 급수를 배운 뒤, 구분구적법을 사용한 정적분의 정의를 배웁니다.
<미적분> 교과서에 소개되어 있는 정적분의 정의는 다음과 같습니다.
| 함수  가 구간 [a, b]에서 연속일 때, 단   |
그런데 구분구적법과 관련된 문제 중에 이런 게 있습니다.
오래된 문제이고, 또 유명하기도 해서 아마 수능 공부하면서 안 풀어 본 사람은 없겠지만
과거 수능 수리 가형 기출 문제입니다. 어떻게 푸셨나요?
아마 이렇게 잘라서 푼 사람도 꽤 많을 것 같습니다.
그런데 사실 이것은 올바른 풀이가 아닙니다. 정적분의 정의에 따르면 가로축의 길이, 즉 x증분이 균등해야 하는데, 이 함수에서는 가로의 길이가 모두 같지 않기 때문입니다.
그런데 사실 이것은 올바른 풀이가 맞습니다.
앞에서 틀렸다면서 뭔 개소리냐 싶겠지만 실제 정적분의 정의는 x증분이 균등하냐에 별 관심이 없기 때문입니다.
실제 정적분의 정의는 함수 f(x)가 유계일 때(사실 모든 유계인 함수가 적분가능하지는 않지만) [a, b]의 임의의 분할에 대하여 그 극한이 0으로 가기만 하면 리만합의 극한이 존재할때 적분 가능하다고 합니다.
쉽게 풀어서 얘기하자면, 가로축의 길이가 같든 같지 않든 그냥 대충 0으로 가면 됩니다.
단지 고등학교 수준에서 엡실론 델타법을 사용한 극한의 정의와 리만적분의 정의를 직관적으로 가르치기는 어렵기 때문에 아주 훌륭하고 좋은 함수들을 다루면서 이렇게만 설명할 뿐입니다.
결론 : 고등학교 수학에서 적분은 교과외건 뭐건 그냥 맞겠지 뭐 하면서 대충 하면 된다.
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