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수교과 학생 [357512] · MS 2010 · 쪽지

2013-07-15 12:07:01
조회수 12,588
14

수학적 확률에 대한 정확한 이해

게시글 주소: https://orbi.kr/0003742651

최근에 치뤄진 7월 학평에서 17번 확률문제가 꽤나 화두에 오르고 있는데,

이와 관련해서 수학적 확률에 관한 이해를 돕기 위해 글을 하나 쓰고자 합니다.

좀 더 좁은 의미에서는 '경우의 수를 통해 구하는 확률 문제'에 관한 내용입니다.

일단 문제를 하나 소개함으로써 글을 시작합니다.

(05 수능 나형)

기출문제를 풀어봤다면, 약간의 노동을 통해서 쉽게 답을 찾을 수 있습니다.

이 문제의 일반적인 풀이는 이러합니다.

그런데, 이 문제에 대해서 이의제기가 올라왔었는데 공부하는 데에 굉장히 도움이 될 만한 글이었습니다.

내용이 꽤 긴데, 귀찮으시면 밀줄친 부분만 읽으시면 됩니다.

읽으실 거라면 특히 2번 이의제기 내용을 주목하세요.

(밑줄은 평가원이 직접 답변 작성하면서 쳐놓은 부분이고, 빨간 글씨와 그 밑줄은 제가 중요하다고 생각해서 표시했습니다.)

이 답변 내용에서 핵심은 '근원사건이 발생할 가능성'입니다.

즉, 주사위 두 개를 서로 다른 것으로 구분한다면 주사위로부터 나올 수 있는 각각의 경우(근원사건)들은 동일한 확률로 발생합니다.

그러나 주사위를 구분하지 않으면 (1,2)와 (2,1)의 경우는 서로 같은 경우가 돼서 (1,2)가 발생할 확률은 (1/36)+(1/36)=(1/18)이 되죠.

따라서 (1,1)이 발생할 확률과 값이 다르게 나오므로,

주사위를 구분하지 않으면 수학적 확률의 정의 P(A)=n(A)/n(S) 로는 확률을 구할 수가 없습니다.

이러한 내용을 문제를 풀면서 고려해보지 않은 학생이 상당수였을 겁니다.

그래서 충분히 '주사위 두 개가 다르다고 해야 하나...? 왜 문제에서 말이 없지....'라는 혼란이 올 수 있죠.

그런데, 이와 같은 상황은 과연 수능에서 처음으로 제시한 걸까요??

성지출판 적분과 통계 교과서에 실린 예제 문제입니다.

이 문제를 읽어보시면 분명히 노란 공, 흰 공끼리는 서로 다른 공이라고 하지 않았습니다.

제시한 그림만 봐도 알 수 있구요.

그런데 교과서에 실린 풀이는 이러합니다.

서로 다른 공이라고 하지도 않았는데 풀이는 노란공 5개에 대하여 5C4, 흰 공 3개에 대하여 3C2 라는 표현을 쓰고 있습니다.

(이 때 nCr 의 정의는 '서로 다른 n개에서 r개를 순서를 고려하지 않고 택하는 경우의 수' 입니다. 고등수학 교과서를 참고하세요.)

이 쯤 되면 아실 겁니다. 이 풀이의 의도도 서로 구분되지 않은 공들을 '근원사건이 발생할 확률을 똑같이 맞춰주기 위해'

임의로 구분해버려서 해결한 것이라는 걸요.

요약하자면, '확률 문제를 푸는데 서로 다른 것인지 아닌지 구분이 안 가는 상황이 있다면, 서로 다른 것으로 구분하여

근원사건이 발생할 확률을 동일하게 설정하고 풀면 된다'는 것입니다.

그게 실제로 같은지 다른지는 확률에 전혀 영향을 미치지 않습니다.

'각각의 근원사건이 발생할 확률이 같을 때'라는 조건은 고교 수학에서 제시한 수학적 확률의 '정의'입니다.

(해당 사건의 경우의 수)/(전체 사건의 경우의 수)가 확률이 아닙니다.

수능에 나온 저 문제도 이러한 수학적 정의는 숙지하고 있어야 한다는 판단 하에 출제한 것으로 추측되네요.

결국 이 글에서 하고 싶은 말은 '교과서를 철저히 읽자', '수능을 위해서만 공부하지 말고 수학 그 자체를 공부하는 태도를 가지자' 입니다.

수학을 공부하는 데 '정의'를 이해하는 것은 아무리 강조해도 지나치지 않습니다.

이제 충분히 수학적 확률의 정의를 알았으니, 이번 7월 학평 문제를 살펴보겠습니다.

주로 이 문제를 '중복조합'으로 풀이하셨을 겁니다.

학생들이 이 부분을 조금 생각하기 힘들어했다는 게 이 문제의 체감 난이도를 높인 요인인 걸로 생각됩니다.

그런데, 약간 비틀어서 생각한 것이긴 하지만 이렇게 풀어봅시다.

5명의 사람의 배치를 다 정하고 나면, 남은 빈자리 10개는 서로 '구분되지 않고' 다 같은 거라고 할 수 있습니다.

(위의 그림에서 2번째 빈자리와 3번째 빈자리를 서로 바꾼다고 해서 다른 경우가 아니죠)

그런데 위에서 이해한 내용에 따르지만 이를 구분해버려도 확률에는 영향을 미치지 않습니다.

따라서 문제의 상황을 이렇게 바꿔서 생각할 수 있습니다.

[A,B,C,D,E를 포함한 서로 다른 15명을 일렬로 배열하는데, A,B,C,D,E 끼리는 이웃하지 않을 확률을 구하시오]

이렇게 되면 조금 생각하기 쉬워집니다. 일단 n(S)=15! 입니다.

이제 해당 사건을 생각해봅시다. 일단 A,B,C,D,E 제외한 10명을 일렬로 세웁니다. (10!)

그 다음, A,B,C,D,E는 10명 사이사이에 일렬로 세워야 합니다. 따라서 이것은 11P5 로 계산하면 됩니다.

그러므로 구하고자 하는 확률은 p=(11P5 x 10!)/15! = (2/13) 입니다.

이 풀이로부터 '확률 문제를 푸는데 조합으로 해석되는 경우는 순열로 해석해도 상관없다' 는 사실을 알 수 있습니다.

작년 '수리의 비밀' 책에서도 이와 관련된 칼럼이 실려 있습니다.

포카칩 모의고사에서 질문이 많이 들어왔던 확룰 문제를 하나 소개하면서 포카칩 님이 쓰신 글이 있죠.

이 글도 그 칼럼과 같은 맥락이라고 보시면 됩니다.

다시 한 번 말하지만, 교과서를 철저히 분석하면 결국 수능 출제 범위는 물론 문제의 아이디어 또한 교과서에 녹아있음을 느낄 수 있습니다.

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컨탑 · 443638 · 13/07/15 15:31

수학적 확률의 정의를 그대로 적용하는게 힘든거 같아요ㅠㅠ 저도 중복조합으로 풀었는데 반성하고 갑니다~

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수교과 학생 · 357512 · 13/07/15 15:47 · MS 2010

중복조합으로 푼 게 잘못됐단건 아니에요 ㅋㅋㅋ 단지 확률을 구할 때는 조합으로 해석하든 순열로 해석하든 상관 없다는 걸 보여주려는 의도였어요 ㅇㅇ....

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컨탑 · 443638 · 13/07/15 17:03

그냥 틀에박힌 생각을 했다는 사실에...ㅠㅠ

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김현우 tr · 452013 · 13/07/15 16:35 · MS 2013

'주사위 문제'나 '공 뽑기 문제'가 수학적 확률의 정의의 대표적인 예시로 쓰이는 이유는
'불가피하게' 같은 종류를 다른 것으로 취급해야만 하기 때문입니다.
경우의 수의 논리와 다른 부분이 있어서 학생들이 어려워하는 부분이죠.

그런데, 7월 모의고사 문제는 이와는 상황이 다릅니다.
그냥 경우의 수의 논리로 그대로 풀면 되는 문제인데,
굳이 같은 종류의 의자를 다른 것으로 가정해서 어렵게 풀 필요가 없습니다.

어차피 확률이란 전체사건에 대한 관심사건의 비율을 의미하므로,
조합이든 순열이든 이 비율만 정확히 구해내면 됩니다.
따라서 문제에서 시키는 그대로, 같은 의자는 같게, 다른 사람은 다르게 취급해서 풀면 됩니다.

즉, 이 문제의 전체 사건은 15개의 의자에 5명의 사람이 앉는 것이므로,
당연히 15 P 5입니다.

그리고, 관심 사건은 5명의 사람이 이웃하지 않게 앉는 것이므로,
먼저 10개의 빈 의자를 나열해놓고, 그 사이 11개의 공간에
5명이 의자를 가지고 들어가면 되므로, 당연히 11 P 5입니다.

따라서, 정답은 11 P 5 / 15 P 5 입니다.

경우의 수로 풀더라도 중복조합이 등장할 이유는 전혀 없어보입니다.
이미 수능에서 이웃하지 않게 배열하는 경우의 수는 여러 번 기출되었죠.

'수교과 학생'님의 풀이가 틀려서가 아니라
학생들이 '그럼 확률 문제는 모두 같은 걸 다르게 취급해서 풀어야 하나?'와 같은
혼란을 가질 수도 있을 것 같아 저의 의견을 남겨봅니다. 이해해주실 거라 믿습니다.

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수교과 학생 · 357512 · 13/07/15 16:41 · MS 2010

좋은 의견 감사합니다. 저도 7월 문제를 서로 다르게 취급하는 데에 있어서 좀 더 매끄럽게 얘기하고 싶었는데 보충해주셔서 고맙네요 ㅎㅎ

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홍삼쥬스 · 409814 · 13/07/16 01:36 · MS 2012

각 근원사건의 확률이 같을때 전사건내 근원사건이 작을수록 이상적인 풀이란 말씀인가요? 그리고 경우의수 대부분은 근원확률이 같다고 직관으로 알고푸는데 주사위문제는 그직관을 노린게 의도인가요?

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김현우 tr · 452013 · 13/07/16 13:58 · MS 2013

저한테 하신 질문인 거죠?^^

1. 제가 생각하는 이상적인 풀이는
문제에서 시키는 ''그대로''를 따라가면서 논리적으로 해결하는 것입니다.
기본적으로 문제의 변형이 많은 풀이로 연습하는 것은 좋지 않다고 봅니다.

그런 의미에서 이번 7월 문제도
문제에서 '같은' 의자가 주어졌다면 그냥 의자를 '같게' 보고 풀면 되는데,
굳이 '다르게' 취급해서 공부해야 되는 것처럼 학생들이 오해하지 않았으면 하는 의미입니다~

2. 주사위 문제나 공 뽑기 문제는 '불가피하게' 다르게 취급해야만 답이 나오는 특수한 문제인데요.
사실 이런 불가피한 문제를 위해 정의를 엄밀하게 배우는 것이죠.

근데, 평가원으로서도 이런 특수한 문제를 어렵게 내기는 부담스러웠을 겁니다.
그래서인지 거의 모든 교과서에 예제로 등장하는 주사위나 공 뽑기 예시로만 수능에서 냈었습니다.

궁금하신 점이 해결되셨나요? 혹시 또 의문이 생기시면 질문주세요~

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dae-hyun · 326763 · 13/09/08 15:32 · MS 2010

김현우 님이 말씀하신 것처럼 '불가피하게' 같은 종류를 다른 것으로 취급해야만 하기 때문이다'.라는 말을 좀더 설명하자면 교과서에서는

확률에서 말하는 '사건'을 집합의 개념으로 설명하고 있죠. 사건은 영어로 'event'이고 집합은 'set' 인데 이 둘의 개념은 비슷하지만 엄밀히 말

해서 다릅니다. 현대 확률론에서는 확률을 집합으로 정의하고 있지만 완전히 집합과 똑같지 않죠. 그럼 차이점 무엇이냐? 집합으로 사건을

정의하게 되면 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대되죠. 하지만 사건이라는건 집합의 성질을 모두 따르지만 이걸로는

부족하죠. 각 근원사건의 '출현빈도'를 고려하는 것까지 포함해야 사건의 올바른 개념이죠. 즉 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은정

도로 기대되지 않은 상황에서는 '출현빈도'개념을 포함시켜서 문제를 해결해야 되죠. 예를 들어 봅시다. 어떤 정육면체 주사위에 각 면에 각

각 1,2,2,3,4,5 이렇게 6개의 숫자가 적혀있고 주사위를 1회 던질때 주사위 앞면에 1일 나올 확률을 구하라는 아주 흔한 문제를 예를들어보죠.

대부분 보자마자 2/6라고 답하죠. 분석을 해봅시다. 표본공간을 집합으로 표현하면 {1 ,2 ,3,4,5}이죠. 그리고 1이 나올 사건을 집합으로 표현하

면 그냥 {1} 이죠. 여기서 보다시피 집합으로 표현하면 집합 내의 원소의 중복은 허락되지 않기 때문에 2가 2개있어도 표현을 할떄는 1개밖

에 표현을 안하죠. 즉 빈도수를 고려하지 않죠. 하지만 확률계산을 할때는 빈도수를 포함시켜야 하므로 총 6가지 중에 2은 2개가 있으니 확

률은 2/6입니다. 이문제는 어느 교과서나 어느 참고서에 다 있는 아주 흔한문제인데 이를 '출현빈도'개념으로 설명하는 참고서는 거의 없

죠. 또 간단히 아주 흔한 문제를 예로 들면 검은공 5개 흰공 3개가 들어있는 주머니에서 2개의 공을 동시에 꺼낼때 2개 공 모두 흰공이 나

올 확률을 구하는 문제를 보죠. 이문제 풀떄 다들 어떻게 하시죠? 아 전체경우의수는 8C2고 우리가 구하는 경우의수는 3C2이니까 저 둘을

나누면 되겠구나! 하고 대부분 풀고 교과서에서도 이렇게 설명이 되어있죠. 분석을 해봅시다. 전체 경우의수가 8C2 라고 했는데 우리가 아

는 조합이라는건 서로 다른 N개 에서 중복을 허락하지 않고 R개를 뽑을때 서로 구분없이 뽑을때 쓰죠.근데 위에 검은공 5개와 흰공 3의

합 총 8개 각각이 모두 서로 다른가요? 엄밀히 말해서 다르지 않죠. 다른 색공끼리는 다를지 몰라도 같은 색공끼리는 다르죠. 하지만 확률을

계산했을시에는 사건의 '출현빈도'개념을 고려해야 하므로 불가피하게 계산상 에서는 마치 서로 다른 것처럼 인식되게 풀어야되죠. 3C2도

마찬가지죠

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홍삼쥬스 · 409814 · 13/07/15 18:52 · MS 2012

회원에 의해 삭제된 댓글입니다.

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률류 · 450204 · 13/07/15 20:10 · MS 2013

오오

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원점수400 · 449670 · 13/07/15 20:32 · MS 2013

근육빵빵형

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alialialice · 403887 · 13/07/15 22:05 · MS 2012

이문제 세번이나 풀어서 도형문제 시간모자랐는데 쉽게 이해했습니다^_^
감사해요 그런데 마지막에 확률문제를 푸는데 조합으로 해석되는 경우는 순열으로 해석해도 상관없다 라고 하셨는데 이 문제에서 5명을 제외한 10개자리를 같은걸로 봤을 때 조합으로 해석된다는 말씀이신건가요??저도 중복조합으로 풀긴했는데 그 마지막 말씀이 적용되는 범위를 정확히 모르겠어서요ㅠㅠ

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수교과 학생 · 357512 · 13/07/15 22:20 · MS 2010

네 빈자리 10개끼리는 같은 걸로 보고 이 10개가 배열되는 각각의 경우의 수를 구하려고 하면 중복조합으로 풀 수가 있죠.
이걸 말한 겁니다ㅇㅇ....

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alialialice · 403887 · 13/07/15 22:46 · MS 2012

그런데 다른 중복조합 문제에서도 이런식으로 적용이 가능한가요??

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수교과 학생 · 357512 · 13/07/15 22:50 · MS 2010

중복조합 문제라기 보다는 '경우의 수를 통해서 구하는 확률 문제'일 때 조합으로 해석가능한 걸 순열로도 해석해도 된다는 말이죠.

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방망이다지기 · 444455 · 13/07/16 00:04 · MS 2013

전 11p5/15p5로 풀었는데 안되나요??

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수교과 학생 · 357512 · 13/07/16 01:16 · MS 2010

그 풀이도 맞습니다. 제 풀이만 맞다는 게 아니라, 조합으로 해석할 수 있는 상황을 순열로 해석해도 상관없다는 걸 보이기 위한 풀이가 제 풀이라는 겁니다.

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푸깡 · 408361 · 13/07/16 00:54 · MS 2012

주사위 2개 던질 때 항상 분모는 6X6=36으로하면서 분자에 해당하는 경우의 수를 구할때는 (1,2)랑 (2,1)를 같은거로 취급해야하나? 고민했었는데요..
분모에 6X6을 한 것은 (1,2)랑 (2,1)를 다른 것 취급한다는 전제가 깔려있었다는 것을 제 과외쌤이 알려주셨는데...
여기서도 그 얘기가 나오는 건가요//

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수교과 학생 · 357512 · 13/07/16 01:15 · MS 2010

전체 경우의 수를 6x6라고 계산한 것이 두 주사위를 서로 다른 것으로 구분했다는 것을 뜻합니다. 위 글에서 설명한 내용이죠 ㅇㅇ

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택준 · 451392 · 13/07/16 01:43 · MS 2013

이번 17번 문제에서 조합을 사용하지 않고 순열로 푼다면 어떻게 풀 수 있을까 궁금했었는데 감사합니다!! 애매했던 수학적 확률에 대한 이해도 훨씬 더 명확하게 하게 된 계기가 된 것 같아요 감사합니다

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너티키드 · 372675 · 13/07/16 02:28 · MS 2011

제가 과외생한테 이 부분에 대하여 설명할 때 마다 항상 말하는 건데 대부분은 이거 이해를 잘 못하더라구요 ㅠㅠ
간단하게 '선택'만 하면 조합, 자리 지정은 '배치', 즉 계승이고, 순열은 '선택'+'배치'이므로 본질적으로 조합*계승 꼴, 즉 순열 자체에 조합이 포함되있으니
그냥 순열로 바로 생각하기 어려우면 조합(선택)하고 팩(배치)으로 찢어서 생각해도 되고, 결과는 항상 같다. 라고 이 부분을 설명하는데
그걸 바로 적용하는것에 대해서 상당히 어려워하는것 같더라구요. 다음부턴 이 글을 참고로 보여줘야겠네요 ^^ 좋은 글 감사합니다~
(저도 사실 이 문제는 그냥 중복조합으로 풀었어요~ ㅋㅋ 칸막이 문제 중에서 중복조합으로 안풀리는 문제는 없더라구요. 현역때는 중복조합을 몰라서 이런 떼놓는 문제는 항상 그냥 조합으로 풀려고 노력했었는데 말이죠!)

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byooks · 416928 · 13/07/16 16:52 · MS 2012

과거에는 주사위 문제가 '서로다른'이란 말이 명시되있는경우가 많았는데 최근엔 '서로다른'이란 말이 없는경우가 많죠

그래서 요즘은 따로 같은 것이라고 명시하지 않는한 주사위나 물체는 서로 다른것이라고 생각하는것이 기본입니다

예로 드신 공문제도 서로같은 노란 공 이란말이 없으면 서로 다른것이라고 생각하는 것이 일반적입니다

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저엉민 · 415113 · 13/07/16 22:25 · MS 2012

한석원선생님이 이걸 정말제대로설명해주시는데
정작 학생들은 어렵다고 한석원확통별로네...이러는현실
저는정말확률의정의를제대로배운게 너무좋은데말이죠

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비젯 · 444375 · 13/07/17 01:57 · MS 2017

정말 도움 되네요.
그 유명한 몬티홀 문제도 사실 50:50이냐 2:1이냐를 구분할 떄 이 원리가 숨어들어있죠.

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비젯 · 444375 · 13/07/17 02:03 · MS 2017

사실 이 풀이는 답지에 나온 풀이와 같은데 의외로 많은 분들이 놀라시네요.

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pascal · 452090 · 13/07/17 13:55 · MS 2013

제가 사용하는 풀이법 하나를 소개합니다. 이 글을 다 읽으신 분이라면 이해가 빠르게 되실 듯 하여 한번 적어봅니다

조건 내의 모든 경우의 수를 전부 시뮬레이션 해보면 어떨까? 일단 이런 발상에서 시작한 풀이법이에요.

5명을 조건을 벗어나지 않는 범위에서 좌측으로 최대한 밀집시키면 101010101000000 과 같은 형태가 됩니다. (좌우측 어느쪽으로 밀집시키든 동형)
이 때, 나머지가 고정된 상태에서 제일 우측 사람이 앉는 경우의 수는 7가지인 것을 확인할 수 있습니다.
또한 우측끝에서 두번째 사람이 우측으로 한칸 이동하면 경우의 수는 6가지로 줄어듭니다 한칸 더 오면 5가지로 줄어들겠죠.
이로써 우측 끝 두명이 앉는 모든 경우의 수는 7부터 1까지의 합이라는 것을 직관적으로 알 수 있습니다 조금 다르게 표현하면 7C1부터 1C1까지의 합이 됩니다
파스칼의 삼각형에서 7C1에서 1C1까지의 합은 8C2라고 알고 있죠.
사람이 한명 추가되면 어떻게 될까요? 8C2부터 2C2까지의 합이 됩니다 즉 9C3, 한명 더 추가되면 10C4, 5명일땐 11C5가 되죠
조건 내에서 모든 사람을 앉히는 경우의 수는 11C5인데, 분모는 15자리에 5명을 앉히는 것이므로 15C5가 됩니다. (고로 이따구로 풀어도 답이 나오죠)
(만약에 분모에서 5명을 서로다른사람으로 생각하여 15P5라고 해주었다면 분자에서도 11C5에 5!을 곱해주어야겠죠)

이 생각의 흐름은 마치 모든 경우의 수를 다 해본 것과 같기에, 선택지 없이 주관식이어도 망설임 없이 답을 낼 수 있다는 장점이 있어요.
설명은 길게 했지만 훈련 끝에 꽤 빠르게 이 과정을 사고할 수 있었습니다. 음 1명은 7C1에서 시작하네 그럼 2명 8C2, 3명 9C3, 4명 10C4, 5명 11C5겠네...이런식으로.
전 순열조합은 개념이 와닿지 않아서 중복순열로 이걸 어떻게 푸는지도 몰라요ㅋ;; 개념이 부족하니 답을 내고도 의문이 들기가 다반사였구요;;;
그런데 이렇게 풀고 나면 찝찝하지가 않아서 다음 문제에 바로 집중할 수가 있게 되었어요, 게다가 어려운 문제일수록 이 방법이 잘 먹혀서 애용하고 있습니다

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싱싱청과물 · 442755 · 13/09/08 00:02

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