[벡터] 서로 다른 두 벡터에 수직인 벡터 구하기
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그리 자주 나오진 않는 것 같은데 가끔씩 있더라구요.
꼬인위치에 있는 두 직선 사이의 거리 구할 때도 필요하고.
혹시 이거 구할 때 외적 쓰시는 분은 없으시죠..?;; 제 친구는 몇몇 그러던데 별로 따라하고 싶진 않네요.
수능을 준비하는데 뭐하러 외적까지 알아두는지...ㅋ
간단한 문제 하나로 제가 하고싶은 말을 끝내도록 하겠습니다~
첫번째 풀이는 가장 정석적인 풀이이고요, 제가 권하는 건 두번째 풀이입니다.
제가 쓴 풀이는 두번째 풀이가 더 깁니다.(사실 첫번째 풀이도 solved 라고 써버려서 짧아보이는 거지 연립방정식 계산하려면 막 더 써야 되요.)
하지만 두번 째 풀이에서 우리는 벡터a와 벡터b를 연산해서 x,y,z 성분중 하나를 0으로 만들 수 있다는 걸 알 수 있습니다.(어떤 쉬운 문제에선 두개가 0이 되기도 하더군요.)
이걸 잘 이용하면 암산으로도 두 벡터에 수직인 벡터를 구할 수 있습니다.(아 위에건 좀 숫자가 더럽긴 하네요.;그래도 문제 나오면 푸셔야되요. 계산을 싫어하면 안 됩니다. 전 단지 설명의 편의상 생략하겠습니다.ㅋ)
위에처럼 주저리주저리 안 쓰고 빠르게 푸는 것도 보여드리겠습니다.
거만해 보인다면 죄송합니다만, 저는 이 정도 식도 안 씁니다. 제가 알아볼 수 있게만 간단하게 써요.
지금 단지 이해를 위해 더 쓴 것 뿐입니다. 연습장이 아니니까 논리적인 흐름을 좀 보이기 위해서만 쓴 거에요.
그리고 이정도 유리수 계산을 암산으로 하는게 그렇게 천재적인 것은 아닙니다.
(그리고 암산으로 안해도 이게 더 빨라요. '단지 이런식으로 풀면 암산으로도 할 만하다.' 정도로만 이해해 주세요.)
이 풀이는 설명을 생략할테니까 이해가 안 되시면 댓글로 말씀해주세요^^
그런데 제가 위 두 문제에서 자꾸 단위벡터를 구하라고 하는 것에도 이유가 있습니다.
그건 꼬인위치에 있는 두 직선 사이의 거리를 구하기 위함입니다. 다음 문제를 볼게요.
문제 유형은 예전에 제가 풀어본 문제이고
숫자는 제가 만들었는데 생각보다 계산이 안 지저분해져서 다행이네요.;
오늘은 시험이 끝난 특별한 날이라 긴 글을 써봤습니다.
꼬인 위치에 있는 두 직선 사이의 거리를 구할 때,
두 직선 위의 점을 매개변수 s, t로 나타내고 "그 두점을 각각 시점, 좀점으로 하는 벡터가 두 직선의 방향벡터와 각각 수직이다."
라고 놓고 s, t를 구해서 두 점 사이의 거리를 구하는 것도 방법이지만 위의 풀이도 이해하면 디게 괜찮습니다.
뭐 마지막 풀이만 가지고 문제는 쉽게 풀어버릴 수 있지만 개인적으로 풀이를 외우기만 해서 푸는 건 좋아하지 않기 때문에
앞에 쓴 것부터 차례대로 이해해주셨으면 합니다. 도움이 되셨길 바래요.
그나저나 전 R의 자취가 평면이 된다는게 정말 신기하네요. 혹시 계산오류 있으면 지적해주시면 감사하겠습니다.
[수정] 마지막 부분에서 k를 |k|로 수정하겠습니다.
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[추가] 마지막 문제 답 13/7 이고
s, t로 매개화 해서 거리가 최소가 되는 점 P, Q를 구하려 하면(s, t를 구하려 하면)
계산 드럽게 복잡합니다.; 연습삼아, 또는 위 풀이랑 답 똑같은지 확인삼아 해보시는 것도 괜찮은데.
상당히 복잡해요. 참고하세요.;;ㄷㄷ
굳굳
저는 (x,y,z) 를 (x,y,1) 로 놓고 풉니다. 비율만 구하는거니 하나를 임의로 정해도 되겠죠. (대신 저 1이 0일경우 fail... 이 경우 그냥 다른걸 1로 놓으면 됩니다.)
오. 그런 방법도 있군요. 그런 생각은 못 해봤네요.ㅋ
뭐, 어떤 풀이든 자기 풀이를 찾고 그게 몸에 베이면 좋겠죠~ㅋ
근데 z=0이 되면 다른 1을 찾는 것보다 (x, y, 0) 으로 놓고 풀면 더 간단해지지 않나요?
예 맞아요 ㅎㅎ
근데 문제 복잡해지면 계산실수땜에 답 안나오는줄알고 그냥 변수 바꿔서 다시계산함 ㅎ
아ㅋ
저도 가끔 그런거 검토하려고 이 풀이 저 풀이로 계산해보고 그럽니다.; 괜히ㅎ
아 근데 '몸에 베이다'가 아니라 '몸에 배다' 가 맞는 표현이군요.;;실수 해명ㅋㅋ
저랑 같아요 ㅋㅋ
시험장에서 2012수능 21번 풀때도 그렇게했고
한완수에도 소개되어있고..
사실 저만 쓰는건줄 알았는데 한완수에 나와있어서 실망..
ㅋㅋㅋ
z=0이되면 다시한번더 x로 나눠서 (1,y',0)으로 하면 정말 문제가 쉬워집니다. 요번 ebs 교재 기하와벡터 수능특강에서도 이런 사고로 풀면 훨씬더 쉽게 풀리더군요.ㅎㅎ
아 그런데 궁금한게 꼬인위치에 있는 두 직선 사이의 거리 구하는게 기출이었나요?
정확한 출처를 모르겠네요.;
(일단 정석적인 풀이로 따졌을때)
거리를 구할 때,
매개변수로 표현하는 과정,
내적=0을 두번하는 연습 과정
연립방정식을 푸는 과정
등은 모두 수능에서 도움이되고 고교과정이지만
꼬인위치의 두직선 사이의 거리 구하는건 7차 평가원 기출에
나올리가 없어요.. 교과서에서 그런건 정의하지 않기 때문입니다.
크.. 그렇군요. 그럼 다른 시험 기출이었거나 어떤 사설에서 나온 문제가 원래 출처겠네요.
어쨋든 되게 얻어갈게 많긴 하더라구요.
그리고 하나 질문이 더 있는데 위에 제가 쓴 수식부분에서 R의 자취가 평면이 되는 걸 보이는 과정에서 두 벡터의 일차결합(이 용어도 교과서에 있는지 모르겠지만)이 두 벡터가 만드는 평면위의 임의의 벡터를 나타낸다는 걸 이용했는데 이 정도는 평가원의 입장에서 어떻게 볼까요?
일차결합이란 [linear combination]으로 대학교 2학년때 배울수있는
선형대수학 [linear algebra] 에서 배우는 Theorem 입니다. 고교과정에서 전혀 언급은안되지만
공부를 좀 깊게한 학생이라면 어렴풋이 이해는 하고있는 정도 입니다.
그것을 직접적으로 이용해야 간단하게 풀리는것은 출제되지 않을 확률이 높습니다.
가끔 평가원도 실수를해서.. 2013수능 포물선문제처럼 공식쓰면 1초만에 풀리는 ㅠㅠ
아 정말, 이렇게 고교과정과 아닌 것에 대해 너무 정확하게 말씀해주셔서 평소에도 도움 정말 많이 되네요.ㅠㅠㅋ
댓글 감사합니다.
전 이만 자러가야겠네요.; 내일 등교를.....아 왜 오늘 시험이 끝났는지 모르겠네요, 정말. 금요일에 끝내주지.;
오 연립방정식 풀이 말고
애초에 두 변수의 비율을 알아내고
한 번 더 계산해 나머지 변수의 비율도 알아내는 방법이네요
좋은듯 ㄷㄷㄷㄷㄷ
(보충설명)
수학에서 외적의 효용성은 두가지입니다.
1. 두 벡터에 수직인 벡터를 찾을 수 있다.
2. 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이를 찾을 수 있다.
하지만 두 가지 모두
다음과 같은 방법으로 해결할 수 있습니다.
1 -> (1,a,b)라 두고 내적을 두번해서 수직인 벡터를 찾는다.
2 -> 벡터 a와 b로 이루어지는 평행사변형의 넓이는 root(a^2b^2 - (a내적b)^2)
따라서 외적에 의하여 유도되는 모든 공식은 고교과정에 의하여
유도되게 되어있고 일차삼피님이 수직인 벡터를 이용해서 구한 꼬인위치의 직선사이 거리 또한
사실은, 외적에 있는 공식을 고교과정으로 유도한 것입니다.
2번에 대한 설명은 없는것 같아서, 보충설명해봤어요. (1번은 일타삼피님이 유사하게 설명해주심)
그리고 2번을 활용하면 공간좌표에서
점과 직선사이의 거리를 구할 때, 내적없이 매우 쉽게 구할수 있지요..
쪽지답장가능하신가여???ㅠ
흑. 기계공 와서 미적분학만 배우니까 머리가 돌이 되었음..
교과외과정 최대로 지양 하는편인데
전 딱 이 부분만 외적을 쓰네요.
(3,4,5) (2,4,9)
(36-20,10-27,12-8)
적응되니까 훨씬 편하더라구요.
저도 이부분만 외적을 이용해서 푸니까 더 편하더라구요
두점의 좌
굳
우와 좋은 글 읽고 갑니다 감사합니다!