일격필살6회 21번질문좀요
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21번의 조건에서 f'(a)=0인데 f의 역함수가 존재할수있나요? 원래 역함수가 존재할조건이 f'(x)>0이거나 f'(x)<0인걸로 알고있었는데 제가 잘못알고있는건가 해서요... 21번 자세한 풀이좀 해주실분 있으신가요?
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암튼 f가 삼차함수가 아닐까 싶은데
삼차함수에서 f'(a)=0인 순간이 있어도 그건 '순간'이기 때문에
f는 증가함수임에는 지장이 없죠. 그럼 역함수 존재 조건인 일대일대응도 만족하구요.
맞는말인것 같기도 한데 그렇게 되면 f의 역함수의 a인 지점에서의 기울기는 무한대로 발산텐데 그러면 함수가 될수 없는것 같은데요.. 그래도 역함수가 정의될수 있나요?
y=x3승도 역함수가 y=x1/3승으로 역함수가 존재한다고 들었던거 같긴한데 기울기가 무한대인데 이게 왜 가능한거죠?
함수의정의는 하나의 x값에 하나의 y값이 대응되는것 이라서
기울기가 무한인거랑 함수가되는거랑 상관 없어요
함수 y = 3제곱근x 는 y = x3제곱 의 역함수가 맞아요. 그리고 이것은 'f(x)가 정의역 전체에서 미분가능한 함수이면 g(x)도 정의역 전체에서 미분가능하다(단,g는 f의 역함수)'라는 명제가 틀렸음을 보이는 반례라고 보시면 됩니다.
문제가 무엇인지는 모르겠으나, 추정해보건데 글쓰신 분께서는 "도함수가 영보다 크면 단조증가이므로 역함수가 존재한다" 라는 명제에서 도함수가 영이면 역함수가 존재한다가 틀리다는 것으로 오해를 하신것 같은데... 지금 상황처럼 도함수가 영이어도 역함수가 있을수 있을 것 같습니다. 역함수의 정의는 기본적으로 일대일 대응으로 정의하는 것이라, 도함수가 영이든 아니든 정의에서 쓰이는 건 아니고 다만 단조 증가나 단조 감소일경우 일대일 대응이므로 이 경우 역함수가 존재한다라는 명제만이 존재할 수 있는게 아닌가 싶은데요. 문제를 못봐서 추측으로 쓰는 점 양해바랍니다. ㅎㅎ
단조증가는 약한 부등호 일 때 아닌가요? a
'증가'라는 용어는 한 점에서 증가 상태에 있다, 어떤 구간에서 증가하고 있다. 증가함수이다 등 여러 가지 형태에서 모두 사용할 수 있는 용어입니다.
강한 부등호일 때 증가함수라는 명제는 참이지만, 증가함수이면 강한 부등호다는 거짓이에요.
용어가 중요한게 아니라 어떤 조건에서 함수가 어떤 성질을 띠느냐가 더 중요하니까 그냥 넘어가려다가 그래도 좀 덧붙여봅니다
용어에 대해 혼동하는 사람이 많은 것 같아서요.
증가(increasing)와 단조증가(monotone increasing)의 차이는 등호가 있느냐 없느냐 입니다. 미국의 경우는 혼란을 줄 수 있는 점을 분명히 하기 위해
등호가 빠지는 경우 강증가(strictly increasing) 이라는 용어를 씁니다.
물론 단조증가(monotone increasing)는 등호가 들어가는 경우를 나타내고요.
그리고 서울대학교 출판부의 <해석개론>이라는 책에선 아래와 같이 설명하고 있습니다.
일변수 함수 f : X → R 가 다음 성질
x,y∈X , x
y=x3승을 예로 들면 미분값이 0이 되는 단조증가하는 연속함수는 역함수가 미분값이 0인 점에서 기울기가 무한대가 되는건 맞는데
엄밀히 말하면 '점은 부분을 가지지 않기'때문에 기울기가 무한대가 되는 점은 존재하지 않으므로 역함수가 정의될수 있다고 하네요
그래도 고등학교 과정에서의 'only증가하거나 감소하는 함수만이 역함수를가진다(단조증가,감소X)'만 알고있으면 수능볼 땐 지장없겟죠...?