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Evolved Slave II [872525] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2021-02-13 10:02:28
조회수 2,015

머리 식힐 사람 들어오셈 ㅋㅋ

게시글 주소: https://orbi.kr/00036179148

오늘은 상당히 쉽지만 풀이가 좀 다양한 문제를 들고 왔습니다. 기본 정석 연습문제라 그런지 사실 풀겠다 마음을 먹었으면 푸는 거 자체는 그닥 어렵진 않습니다.

문제 원본(위에 동그라미 친 거)


총 3가지 풀이가 있는데,


(1) 미분해서 극대 극소로 풀기


제일 기초적이고 쉬운 풀이. x=/=0인 실수 x에서 정의된 f(x)가 미분가능하므로 f'(x)=1-a/x², x=+-sqrt(a)에서 극값을 가지고, x=-sqrt(a)에서 극대, x=sqrt(a)에서 극소임을 알 수 있다.


f(-sqrt(a))=1-2sqrt(a)=-1에서, a=1이고,

f(sqrt(a))=1+2sqrt(a)=3이므로 f(x)의 극솟값은 3이다.



(2) 산술 기하로 풀기


x+1+a/x=(x+a/x)+1이다.


x>0에서 f(x)>=1+2sqrt(a)(등호는 x=sqrt(a)일 때 성립, 극소)

x<0에서 f(x)<=1-2sqrt(a)(등호는 x=-sqrt(a)일 때 성립, 극대)

이므로 (1)과 같은 원리로 a=1, 극솟값은 3이다.



(3) 판별식으로 풀기(다만 f(x)의 그래프 개형을 대략적으로 이해한 상태에서)


x+1+a/x=k(k는 실수)라 하자. x=/=0에서 양변에 x를 곱해도 무방하므로 f(x)의 정의역에서는 x를 곱해 생각이 가능하다. 이를 정리하면,


x²+(1-k)x+a=0에서, 실근 x가 존재하려면 판별식 D=(1-k)²-4a>=0이므로 1-2sqrt(a)>=k 또는 1+2sqrt(a)<=k


이 때, 정의 상 극대와 극소는 주변값보다 더 크거나 작은 값이고, 해당 함수에서 극대나 극소가 정해지는 상태는 k의 범주 끝에서 정해지므로 1-2sqrt(a)=-1에서 a=1, 극솟값은 3이다.



이 3가지 풀이 모두 기본으로 전제해야 하는 게 있는데, a>0이어야만 합니다. 물론 미분하면 f'(x)=1-a/x²이므로 a<0일 시에 증가함수이므로 극대 극소가 생길 수 없다는 걸로 바로 파악할 수 있지만, 그래프 개형을 바로 파악 가능한 실력에서 이 문제를 보게 되면 생각할 게 더 많은 문제네요.


그리고 이 문제에서 얻어갈 만한 거는 또 있습니다! 구해보면 극댓값<극솟값인 상황인데, 특히 문과에서 올해 다시 수능 보시는 분들에게는 다소 생소할 수도 있는 상황이니 한 번 문제를 풀고 곱씹어보는 것도 나쁘지 않을 듯합니다.



과외 학생한테는 (3)도 알려줘야징


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