제로콜라 [408120] · MS 2017 (수정됨) · 쪽지

2020-11-28 21:58:00
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나라면 수능 전에 꼭 복습할 올해 수학 기출 총정리!(PDF 추가)

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1 [개념기출다잡기] 귀납적으로 정의된 수열.pdf

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8 [개념기출다잡기] 절댓값과미분가능성.pdf

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1 [개념기출다잡기] 귀납적으로 정의된 수열_문항지.pdf

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2 [개념기출다잡기] 중복조합 feat. Case 분류_문항지.pdf

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3 [개념기출다잡기] 확률변수끼리 관계식 세우기_문항지.pdf

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4 [개념기출다잡기] 지수로그 ㄱㄴㄷ_문항지.pdf

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5 [개념기출다잡기] 삼차함수 대칭성과 비율 관계_문항지.pdf

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6 [개념기출다잡기] 공통 접선_문항지.pdf

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7 [개념기출다잡기] 합성함수 돌려 그리기_문항지.pdf

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8 [개념기출다잡기] 절댓값과 미분가능성.pdf

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"오류수정(11/30 14:123 네번째. 지수로그 ㄱㄴㄷ의 2021 사관학교 (나) 21번 ㄷ에서 y₂-y₁인데 y₁-y₂라고 해놨더라구요."


수험생 때의 기억을 되살려보면 지금은 새로운 문제를 푸는 것 보다 그동안 풀면서 체크해둔 문제, 틀렸던 문제를 빠르게 쓰윽 보는게 좋았어요.


올해 평가원/교육청/사관학교 문제들 중에 수능 전에 복습하면 좋겠다 싶은 것들을 주제별로 묶어보았어요.


공부하다가 쉴 때, 집중력 떨어질 때, 공부하기 싫을 때 한 시리즈씩 보세요(?)


올렸던 글들 재구성해서 모아둔 것이니 자세한 설명은 지난 글들을 참고해주세요.


클릭해주신 분들 모두 감사하고 마무리 잘 하시고 좋은 결과 있으시기 바랍니다.


첫번째. 수열의 귀납적 정의

1. 2021 9평(가) 10번

 



귀납적으로 정의된 수열은 등차/등비를 제외하곤 일반항을 찾는 것을 다루지 않습니다.

따라서 직접 대입을 해서 찾는데, 직접 대입할 때 사칙연산을 마무리 짓지 말고 그대로 표현하는게 유리할 때가 있습니다.


2. 2022 예시문항(공통) 15번

 



대입하는데 경우를 나눠야할 때 가지치기(수형도)가 강력한 도구입니다.


3. 2021 9평(나) 21번

 가지치기로 경우 나눌 때 상황에 따라 시작점을 잘 잡는 방법이 있습니다.



두번째. 중복조합 Case 나누기

1. 2020 10월(가) 28번

 



같은 종류의 물건을 나누어줄 때는 중복조합 공식을 쓰면 됩니다.

물건이 두 종류더라도 전형적인 상황에서는 그냥 H 공식을 써서 곱하면 됩니다.

하지만, 조건이 걸려있을 때는 바로 풀 수 없는 공식이 없어요.

경우의 수나 확률 단원에서는 항상 언제든 "직접 세어보기"나 "Case 나누어 세어보기"를 할 준비가 되어 있어야 합니다.

특히 이 문제에서는 빵과 우유의 개수가 적기 때문에 직접 경우를 나누라는 것을 눈치챌 수 있습니다.


2. 2021 9월(가/나) 28번





정답률이 낮았으나 이 단원에서는 Case 나누기와 직접 세기가 습관이 되어 있어야 합니다.

특히 수능 특강에 이미 이 문제가 있었습니다!


세번째. 확률변수끼리 관계식 세우기

1. 2021 9월 (가) 26번 (나) 27번

 



E(aX+b)=aE(X)+b, V(aX+b)=a²V(X)으로 계산만 할 줄 아시는게 아니라

확률변수 X, Y의 확률질량함수가 같을 때 X, Y의 관계식 세우기를 할 줄 아셔야 합니다.

V(X)=E(X²)-{E(X)}² 도 기억하고 계셔야겠죠?


2. 2020 10월 (나) 15번

 



문제에 오류가 있긴 하지만 별개로 문제에서 배울 것만 챙겨가시면 되겠습니다.

확률질량함수가 같다는 표현이 위 문제랑 다르게 나왔는데 확인하시구요.

E(X)랑 V(X)알 때 이차식 aX²+bX+c의 평균 E(aX²+bX+c)까지 간단히 구할 수 있음을 확인하세요.


네번째. 지수로그 ㄱㄴㄷ

1. 2021 6월 (가) 18번 / (나) 21번





기본적으로 할 줄 아셔야 하는 테크닉 4가지를 확인해봅시다.

① ㄱ에서 1/2을 대입한 f(1/2)와 g(1/2)의 대소를 비교하여 x₂와 1/2의 대소를 알 수 있습니다.

② (y의 차)÷(x의 차) 꼴인 (y₂-y₁)/(x₂-x₁)나 y₁/x₁는 두 점 사이의 기울기로 해석하실 줄 아셔야하고

③ (x의 차)×(y의 차) 꼴인 (x₂-x₁)×(y₂-y₁)나 x₁×y₁ 는 직사각형의 넓이로 해석하실 줄 아셔야해요.

④ ②, ③번에서 말한 기하적 해석으로 잘 안될 때는 직접 함수 식에 대입하여 연산을 해보는 것도 자주 사용되어요.


*ㄴ풀 때 그림이 왜곡되지 않았다는 가정하에 직관적으로 풀었는데, 정확한 논리로 푸려면 y1 y2를 이차함수에 대입하셔서 x1+x2가 -1/2보다 큰 것을 보이면 됩니다. 


그리고 몇가지 팁

① 이 유형에서 그래프 그릴 때는 왜곡없이 x, y 비율 잘 맞게 그리면 편할 때 있구요.

② 각 그래프가 격자점(x, y좌표 모두 정수인 점) 지나면 표시해두면 유용할 때 있어요.

③ 그리고 교점의 x, y좌표(x₁, x₂, y₁, y₂)와 비교한 구체적인 값(그러니까 이 문제 ㄱ에서 준 1/2 같은 숫자)은 그래프에 x, y 좌표를 표시해두면 유용할 때가 있어요.


2. 2021 사관학교 (나) 21번

 



이 문제에서 두 가지 정도 챙깁시다.

① (ㄴ에서) a<b<c<d이면 c-b<d-a 입니다.

② (ㄷ에서) 분자 분모 모두 양수일 때, 분모가 커지거나 분자가 작아지면 전체 값은 작아집니다.


3. 2020 10월 (나) 21번

 

 



여기서도 챙길 내용 두 가지

① (ㄴ에서) 지수든 로그든 대소관계 비교할 때 밑이 같아야 편해요. 밑이 달라서 대소관계 비교가 잘 안 될때는 두 수 사이에 징검다리 역할하는 수를 잡아주는 센스가 필요해요. ㄴ에서 2^(1.5)를 떠올리는 것은 천재적 발상이 아니라 아주 논리적이고 자연스러운 흐름이에요.

② (ㄷ에서) 보기의 숫자에서 힌트를 얻을 줄 아셔야합니다. 그래야 x범위를 토대로 y범위를 구할 때 f에 대입할지 g에 대입할 지 판단할 수 있어요. 


다섯번째. 삼차함수 비율관계

1. 2021 사관(나) 30번





삼차함수는 점대칭인 성질이 있습니다.

평행한 두 접선을 그었을 때 생기는 접점, 교점 사이에 길이의 비가 2:1인 성질이 있구요.

점대칭 기준점을 포함하여 나타내면 4등분 됩니다.

이 성질을 이용하면 계산이 상당히 편해지는 경우가 많습니다.


추가로 이 문제에서는 삼차함수의 대칭성과 연계하여서, 접점 사이의 기울기를 극댓점 사이의 기울기로 바꾸어 생각하는게 아주 흥미로운 부분입니다.

밑이 같은 두 지수함수에서도 사용될 수 있는 테크닉입니다.

 


여섯번째. 공통 접선 관찰하기

1. 20210930(가)





곡선과 직선의 교점의 개수는 접할 때 기준으로 달라집니다. 그래서 교점의 개수를 묻는 문제에서는 접선이 중요합니다. 그렇다면 곡선이 두 개일 때는 공통접선이 중요한 상황이 됩니다. 두 함수의 대소관계를 준 이 문제도 마찬가지에요.

나형 학생들도 자연상수나 지수함수 미분만 안 배웠지 이 문제의 상황 자체는 해결하실 수 있어야 합니다. (함수만 좀 바꾸면 나형 버전이 됩니다. )


추가로 이 문제에서는 두 지수함수의 점대칭을 볼 수 있으면 풀이가 편합니다. 밑이 같은 지수함수이니 이 정도 눈썰미는 필요합니다.


이 자료에서는 공통접선인 것을 이용했고, 답이 유리수임을 이용해 최대한 간단하게 풀이했는데, 사실 문제 상황이 달라지면 이 테크닉들은 사용할 수 없습니다. 이렇게 간단하게 해결하는 것도 알아두시고, 직접 식을 세워 해결하는 방법도 알아두시면 좋겠습니다.(지난 글 9평 풀이 올린 것 참고)


2. 2022 예시문항(미적분) 30번

 


이 문제도 밑이 e인 로그함수라 나형 학생들이 개형을 그릴 수 없는데요. 그래프 개형은 문제에서 줬다치고(또는 함수 식을 나형에서 미분법 다루는 함수로 줬다고 치고) 상황은 이해할 수 있으셔야합니다.

이 정도 상황은 나형 30번에서도 무난하게 해결하실 수 있어야합니다.


일곱번째. 합성함수 돌려 그리기

1. 20200321(나)





합성함수 그래프 그릴 때, (특히 g(f(x))=k의 실근의 개수 물을 때) 먼저 가는 함수를 시계 방향 90도 회전하여 그리면 편합니다.

f의 치역과 g의 정의역이 일치한다는 걸 생각하면 자연스러운 발상입니다.


2. 2021 사관(가) 30번

 




마찬가지 테크닉을 사용합니다.

나형 학생들은 g의 그래프를 그리는 것은 배우지 않았습니다만, 이 상황 자체는 해결할 수 있어야합니다.

(g의 그래프를 문제에서 주거나, 함수를 삼차&유리함수 같은 방식으로 줄 수 있음)


이 문제에서 이차함수 f(x)에 절댓값을 취했을 때, 꼭짓점이 얼마나 높이(?) 올라오는 지에 따라 상황이 달라지는 것을 인지하고 스스로 모든 경우를 나누어 따져보는 경험이 중요합니다.

(물론 시험 때는 정답이 되는 경우를 최대한 빨리 찾는 것이 중요)


여덟번째. 절댓값과 미분가능성

1. 20210930(나)





f(a)=0이고 y=|f(x)}가 x=a에서 미분가능할 때,

f'(a)=0이며, 다항식 f(x) 는 (x-a)²을 인수로 가집니다.

문제 해결할 때 이를 자유롭게 사용할 수 있으셔야해요.


아홉번째. 정적분의 부등식

1. 2022 예시문항(공통) 12번





적분가능한 f(x)에 대하여 [a, b]에서

① f(x)≥0이면 f(x)의 a에서 b까지 정적분 값이 0이상이 되며

② f(x)≥g(x)이면 f(x)의 정적분 값이 g(x)의 정적분 값보다 크거나 같고

③ m≤f(x)≤M이면 f(x)의 정적분 값은 m(b-a)이상, M(b-a) 이하입니다.


정적분 값과 관련된 부등식을 다룰 때 사용할 수 있는 몇 안되는 도구입니다.


2. 20210918(가)





특히 이 문제처럼 ㄱㄴㄷ에서 정적분과 관련된 부등식이 나오면 떠올려주세요

나형 학생들이 배우지 않은 함수가 나오긴 하는데 그냥 로그함수구나 생각하시고, 논리만 챙기시면 됩니다.

그리고 이 문제에서는 보자마자 선대칭임을 알아차리는 눈썰미가 필요합니다.

 

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