[자작] 행렬의 고차식의 계산

Question

느낌으로는 한 재작년 정도부터 이런 식의 행렬의 고차식의 계산이 종종 보이네요. 그래서 한 번 출제해봤습니다.

N공간 · Accepted Answer

p^n+q^n 부분을 p^n-q^n으로 바꿔야 하지 않을까 하는 의견을 내봅니다. 이 의견을 가정으로 삼고 풀이해보겠습니다.
B=(5 4 &5 4), E=(1 0 & 0 1)이라 하면 A=B+3E라는 것을 알 수 있습니다. 그러면 B와 3E 사이에 교환법칙이 성립하므로
A^n=B^n+3 nC_1 B^(n-1)+...+3^n E라 할 수 있습니다. 이때 B^2=9B이므로
A의 (1,2)성분은 4(9^(n-1)+3 nC_1 9^(n-2)B+...+3^n-1 nCn-1)이고, 적절하게 식을 변형시켜주면 이항정리를 이용하여 성분값이 4/9 (12^n-3^n)임을 알 수 있습니다.
따라서 p=12, q=3이므로 p-q=9

먼지바람 · Answer

정답이네요.^^ p^n -q^n에서 p-q를 굳이 물어본건 n=1을 대입했을때, 행렬 A로 바로 풀어내는걸 방지하기 위해서였습니다.
행렬의 고차식의 계산을 이항정리를 이용해서 푸는건 생각못했습니다. 신선하네요. 저는 점화식을 이용해서 풀었습니다. ^^

[자작] 행렬의 고차식의 계산

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