Mathematics Column) 거꾸로 치환하기
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안녕하세요
지방 전문ㄷ..ㅐ 읍읍 모 지거국 의대에 20학번으로 재학 중인 평범한 대학생입니다.
오늘 칼럼은 어제 동기 형이 수학 질문 한거에 생각나서 적어보는 제가 좋아하는 적분법에 관하여 얘기하고자 합니다.
이름은... 거꾸로 치환하기!
그냥 치환적분인데 x=f(t) 꼴로 적분하는 겁니다!
그냥 f(x)=t로 적분하면 편한데 왜 굳이 그렇게 하냐고요?
x=f(t)가 조금의 직관력만 기른다면 아주 편한 적분법이기 때문이죠!
f(x)=t로 치환했을 때 복잡한 적분 식이 있으면 머리가 복잡해지더라고요!!
그런데 x=f(t)는 매우 편하답니다!
본론으로 들어가서, 200630에 대하여 언급하겠습니다.
그래프는 제가 말하는 거에서 중요하지 않기 때문에 생략하겠습니다.
Xn은 뭐라고 나타낼 수 있을까요? 우선 Xn=f-1(t)입니다.
그럼 t는 뭐라고 치환하고 싶으신가요? t=f(x)를 해보고 싶다는 생각이 1초만에 들지 않나요?
그렇게 해서 치환적분 해보면 dt=f'(x)dx이므로 int(t/f'(x))=int(f(x))로 생각할 수 있겠죠?
간단합니다. 그냥 식만 보고 이렇게 t= 뭘로 치환할지 고민하는거죠.
이 방법의 장점은 dt=f'(x)dx 꼴로 나오기 때문에 나누는 과정 없이 그냥 곱하기만 간단하게 하면 되기때문에
식이 되게 예뻐집니다.
다른 문제로 넘어가보죠.
이건 root(x)=t로 치환해도 쉽게 풀립니다. 근데 좀 루트가 섞여버리면 약간 식이 더러워 진다는 생각이 강하게 드는군요.
그래서 간단하게 root(x)를 보고 x=t^2을 치환한다는 생각을 빠르게 하면 식도 엄청 간단해지고 시간도 엄청 세이브 되겠죠??
마지막 문제를 봅시다. 이건 좀 어려울거에요
이것도 물론 root(x)=t로 치환할 수 있습니다. 근데 삼각치환을 한번더 해야한다는 점에서 계산이 더러워지고 아주 복잡해지죠.
그래서 이 식에는 뭘 떠올릴 수 있을까요?
1+x와 root(x)에서 뭘 치환해야 할지 뭔가 떠오르지 않나요?
루트가 있으니 뭔가 제곱을 해서 없애줘야 할것 같고, 1+x가 있으니 뭔가 삼각치환을 해야할 것 같고.
이래서 떠올리는 치환이 바로 x=tan^2 t입니다!
이 방법에서 중요한것은 뭘 치환해야할지 빠르게 알아내는 '직관력'입니다.
몇개만 얘기 하면,
루트에선 제곱을,
1+x^2에선 삼각치환을,
역함수에선 그냥 함수를,
등등의 방법이 있겠죠!
이상으로 칼럼을 끝내겠습니다.
도움이 되셨기를 바라며...
bye
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슬픔
ㅜㅜ
치환적분으로 고이면 이렇게 되는군요 ㄷㄷ
삼각치환 수능에 안 나오는 게
일대일함수 않이어서임?
그거땜에 수능에 안 나올 이유는 있나..??
수학 노베여서질문드려요
구간만 잘 설정해주면 1-1될텐뎅 안나오나요? 몰랐네요
정보)) 원래 x=f(t)가 원칙
그저 갓..