0.999...=1인 건 이해가 가는데 무한등비급수가...제발 한 사람 살리는 셈치고 이해 도와주세요!

Question

0.999...=1이라는 걸 정말 오랫동안 납득 못하다가 드디어 이해가 갔는데요.

0.999...는 단지 9가 무한히 늘어서 있는 것을 나타낸 것이지 0.9, 0.99, 0.999, ...와 같이 계속 1에 가까이 다가가는 상태를 나타낸게 아니기 때문에 1이라는 게 이해가 가는데요.
즉, 수열 An에서 n이 한없이 커질 때, 일반항 An이 a에 수렴한다고 하면 An은 a와 다른 값을 갖으면서 a에 한없이 가까이 가는 것이지만 An이 가까이 가는 수를 나타낸 "극한값'은 a와 정확히 같다는 것이잖아요. 그렇게 보면 위에 0.999...도 이런 고정된 수인 "극한값"인 거구요.

근데요 그럼 하나가 걸리는 게, 우리가 첫째 항이 1/2고 공비도 1/2인 무한수열An의 무한급수는 1에 수렴한다고 하잖아요?이 무한등비급수를 시그마 n이 한없이 커질 때 An은 1과 같다라고 표현하잖아요?(제가 기호를 못 쓰게 써서 죄송합니다.) 그리고 또 이것을 1/2+(1/2)²+(1/2)³+...(이 식을 1번 식이라고 하겠습니다.)라고 표현하잖아요?
근데 1번 식은 위에서 극한 설명할 때 "a와 다른 값을 갖으면서 a에 가까이 간다"라고 한 것처럼 극한 때와 같이 lim기호가 앞에 붙어 있는 것이 아니니 단지 1은 아니지만 계속 1에 가까이 가는 상태아닌가요? 그런데 1번 식을 교과서나 모든 교재에서 그냥 1과 같다라고 하잖아요?
제발 이해가 갈 수 있게 도와주세요!!

시테 · Accepted Answer

'1번식'이 뭔진 모르겠습니다만... 
무한급수는 ~~이다가 아니라 ~~에 수렴한다라고 표현하는데는 이유가 있는거죠.
r=1/2, a=1/2의 무한등비급수도 (1/2)/{1-(1/2)}=1이라는 값에 '수렴'하는 것이니 '같은' 것이 아니고 '무한히 다가가는' 것이에요
무한히 다가가니깐 그 급수는 1과 같다고 간주해도 계산에는 영향이 없으니깐 그냥 쓰는거죠

이과설경 · Answer

이런거이해안가면 걍 넘어가여 이런데 지체할 시간이없음

맹꼬 · Answer

sos440 님께질문해보세요.. 오르비수리에서 활동하시는분중 제일실력좋으신것같음.

눈팅+ · Answer

?? 0.9999...도 9/10+9/10^2+9/10^3+... 로 무한등비급수로 아래것과 똑같은데, 위에건 이해가되고 아래건 이해가 안된다는건 무슨말씀이시죠?

0.999...=1인 건 이해가 가는데 무한등비급수가...제발 한 사람 살리는 셈치고 이해 도와주세요!

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